1. **Énoncé du problème :**
Soit un triangle FAL. On définit les points I, J, K par :
- I est le barycentre de \{(F, 2); (L, 1)\}
- J est le barycentre de \{(F, 1); (A, 2)\}
- K est le barycentre de \{(L, 1); (A, -4)\}
Nous devons :
1) Démontrer que A est le barycentre de \{(K, 3); (L, 1)\}
2) Trouver le barycentre de \{(F, 2); (K, 3); (L, 1)\}
3) En déduire que I, J, K sont alignés et que J est le milieu de [IK]
4) Montrer que IJNM est un parallélogramme dont le centre G est l’isobarycentre de FAL, où M est le milieu de [LI] et N celui de [KL]
---
2. **Rappel de la définition du barycentre :**
Le barycentre de points pondérés \{(P_i, m_i)\} est le point G tel que
$$\sum m_i \overrightarrow{GP_i} = \overrightarrow{0}$$
avec \(\sum m_i \neq 0\).
---
3. **Calcul des vecteurs des points barycentres :**
- Pour I, barycentre de \{(F, 2); (L, 1)\} :
$$2 \overrightarrow{I F} + 1 \overrightarrow{I L} = \overrightarrow{0}$$
Donc,
$$2(\overrightarrow{F} - \overrightarrow{I}) + (\overrightarrow{L} - \overrightarrow{I}) = \overrightarrow{0}$$
$$2\overrightarrow{F} + \overrightarrow{L} = 3 \overrightarrow{I}$$
D'où
$$\overrightarrow{I} = \frac{2 \overrightarrow{F} + \overrightarrow{L}}{3}$$
- Pour J, barycentre de \{(F, 1); (A, 2)\} :
$$1 \overrightarrow{J F} + 2 \overrightarrow{J A} = \overrightarrow{0}$$
$$\overrightarrow{F} - \overrightarrow{J} + 2(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{J}) = \overrightarrow{0}$$
$$\overrightarrow{F} + 2 \overrightarrow{A} = 3 \overrightarrow{J}$$
Donc
$$\overrightarrow{J} = \frac{\overrightarrow{F} + 2 \overrightarrow{A}}{3}$$
- Pour K, barycentre de \{(L, 1); (A, -4)\} :
$$1 \overrightarrow{K L} - 4 \overrightarrow{K A} = \overrightarrow{0}$$
$$\overrightarrow{L} - \overrightarrow{K} - 4(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{K}) = \overrightarrow{0}$$
$$\overrightarrow{L} - \overrightarrow{K} - 4 \overrightarrow{A} + 4 \overrightarrow{K} = \overrightarrow{0}$$
$$\overrightarrow{L} - 4 \overrightarrow{A} + 3 \overrightarrow{K} = \overrightarrow{0}$$
$$3 \overrightarrow{K} = 4 \overrightarrow{A} - \overrightarrow{L}$$
Donc
$$\overrightarrow{K} = \frac{4 \overrightarrow{A} - \overrightarrow{L}}{3}$$
---
4. **1) Montrer que A est barycentre de \{(K, 3); (L, 1)\} :**
On cherche \(\overrightarrow{A}\) en fonction de \(\overrightarrow{K}\) et \(\overrightarrow{L}\) avec coefficients 3 et 1 :
$$3 \overrightarrow{A K} + 1 \overrightarrow{A L} = \overrightarrow{0}$$
$$3(\overrightarrow{K} - \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{L} - \overrightarrow{A}) = \overrightarrow{0}$$
$$3 \overrightarrow{K} + \overrightarrow{L} = 4 \overrightarrow{A}$$
D'où
$$\overrightarrow{A} = \frac{3 \overrightarrow{K} + \overrightarrow{L}}{4}$$
Remplaçons \(\overrightarrow{K}\) par son expression :
$$\overrightarrow{A} = \frac{3 \times \frac{4 \overrightarrow{A} - \overrightarrow{L}}{3} + \overrightarrow{L}}{4} = \frac{4 \overrightarrow{A} - \overrightarrow{L} + \overrightarrow{L}}{4} = \frac{4 \overrightarrow{A}}{4} = \overrightarrow{A}$$
L'égalité est vraie, donc A est bien barycentre de \{(K, 3); (L, 1)\}.
---
5. **2) Trouver le barycentre de \{(F, 2); (K, 3); (L, 1)\} :**
Soit G ce barycentre, alors
$$2 \overrightarrow{G F} + 3 \overrightarrow{G K} + 1 \overrightarrow{G L} = \overrightarrow{0}$$
$$2(\overrightarrow{F} - \overrightarrow{G}) + 3(\overrightarrow{K} - \overrightarrow{G}) + (\overrightarrow{L} - \overrightarrow{G}) = \overrightarrow{0}$$
$$2 \overrightarrow{F} + 3 \overrightarrow{K} + \overrightarrow{L} = 6 \overrightarrow{G}$$
Donc
$$\overrightarrow{G} = \frac{2 \overrightarrow{F} + 3 \overrightarrow{K} + \overrightarrow{L}}{6}$$
Remplaçons \(\overrightarrow{K}\) :
$$\overrightarrow{G} = \frac{2 \overrightarrow{F} + 3 \times \frac{4 \overrightarrow{A} - \overrightarrow{L}}{3} + \overrightarrow{L}}{6} = \frac{2 \overrightarrow{F} + 4 \overrightarrow{A} - \overrightarrow{L} + \overrightarrow{L}}{6} = \frac{2 \overrightarrow{F} + 4 \overrightarrow{A}}{6} = \frac{1}{3} \overrightarrow{F} + \frac{2}{3} \overrightarrow{A}$$
---
6. **3) Déduire que I, J, K sont alignés et que J est milieu de [IK] :**
Rappel :
$$\overrightarrow{I} = \frac{2 \overrightarrow{F} + \overrightarrow{L}}{3}, \quad \overrightarrow{J} = \frac{\overrightarrow{F} + 2 \overrightarrow{A}}{3}, \quad \overrightarrow{K} = \frac{4 \overrightarrow{A} - \overrightarrow{L}}{3}$$
Calculons \(\overrightarrow{I K} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{I} = \frac{4 \overrightarrow{A} - \overrightarrow{L}}{3} - \frac{2 \overrightarrow{F} + \overrightarrow{L}}{3} = \frac{4 \overrightarrow{A} - \overrightarrow{L} - 2 \overrightarrow{F} - \overrightarrow{L}}{3} = \frac{4 \overrightarrow{A} - 2 \overrightarrow{F} - 2 \overrightarrow{L}}{3}$$
Calculons \(\overrightarrow{I J} = \overrightarrow{J} - \overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{F} + 2 \overrightarrow{A}}{3} - \frac{2 \overrightarrow{F} + \overrightarrow{L}}{3} = \frac{\overrightarrow{F} + 2 \overrightarrow{A} - 2 \overrightarrow{F} - \overrightarrow{L}}{3} = \frac{2 \overrightarrow{A} - \overrightarrow{F} - \overrightarrow{L}}{3}$$
On remarque que
$$\overrightarrow{I K} = 2 \times \overrightarrow{I J}$$
Donc, J est sur la droite (IK) et
$$\overrightarrow{I J} + \overrightarrow{J K} = \overrightarrow{I K}$$
avec
$$\overrightarrow{J K} = \overrightarrow{I K} - \overrightarrow{I J} = 2 \overrightarrow{I J} - \overrightarrow{I J} = \overrightarrow{I J}$$
Cela montre que J est le milieu de [IK].
---
7. **4) Montrer que IJNM est un parallélogramme dont le centre G est l’isobarycentre de FAL :**
Définissons :
- M milieu de [L I] :
$$\overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{L} + \overrightarrow{I}}{2} = \frac{\overrightarrow{L} + \frac{2 \overrightarrow{F} + \overrightarrow{L}}{3}}{2} = \frac{\frac{3 \overrightarrow{L} + 2 \overrightarrow{F} + \overrightarrow{L}}{3}}{2} = \frac{4 \overrightarrow{L} + 2 \overrightarrow{F}}{6} = \frac{2 \overrightarrow{L} + \overrightarrow{F}}{3}$$
- N milieu de [K L] :
$$\overrightarrow{N} = \frac{\overrightarrow{K} + \overrightarrow{L}}{2} = \frac{\frac{4 \overrightarrow{A} - \overrightarrow{L}}{3} + \overrightarrow{L}}{2} = \frac{\frac{4 \overrightarrow{A} - \overrightarrow{L} + 3 \overrightarrow{L}}{3}}{2} = \frac{4 \overrightarrow{A} + 2 \overrightarrow{L}}{6} = \frac{2 \overrightarrow{A} + \overrightarrow{L}}{3}$$
Calculons les vecteurs \(\overrightarrow{I J}\) et \(\overrightarrow{N M}\) :
$$\overrightarrow{I J} = \frac{2 \overrightarrow{A} - \overrightarrow{F} - \overrightarrow{L}}{3}$$
$$\overrightarrow{N M} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{N} = \frac{2 \overrightarrow{L} + \overrightarrow{F}}{3} - \frac{2 \overrightarrow{A} + \overrightarrow{L}}{3} = \frac{2 \overrightarrow{L} + \overrightarrow{F} - 2 \overrightarrow{A} - \overrightarrow{L}}{3} = \frac{\overrightarrow{L} + \overrightarrow{F} - 2 \overrightarrow{A}}{3} = - \overrightarrow{I J}$$
Donc,
$$\overrightarrow{N M} = - \overrightarrow{I J}$$
Cela montre que les côtés opposés \(I J\) et \(N M\) sont parallèles et de même longueur.
De même, calculons \(\overrightarrow{J N}\) et \(\overrightarrow{M I}\) :
$$\overrightarrow{J N} = \overrightarrow{N} - \overrightarrow{J} = \frac{2 \overrightarrow{A} + \overrightarrow{L}}{3} - \frac{\overrightarrow{F} + 2 \overrightarrow{A}}{3} = \frac{2 \overrightarrow{A} + \overrightarrow{L} - \overrightarrow{F} - 2 \overrightarrow{A}}{3} = \frac{\overrightarrow{L} - \overrightarrow{F}}{3}$$
$$\overrightarrow{M I} = \overrightarrow{I} - \overrightarrow{M} = \frac{2 \overrightarrow{F} + \overrightarrow{L}}{3} - \frac{2 \overrightarrow{L} + \overrightarrow{F}}{3} = \frac{2 \overrightarrow{F} + \overrightarrow{L} - 2 \overrightarrow{L} - \overrightarrow{F}}{3} = \frac{\overrightarrow{F} - \overrightarrow{L}}{3} = - \overrightarrow{J N}$$
Les côtés opposés \(J N\) et \(M I\) sont aussi parallèles et de même longueur.
Donc, IJNM est un parallélogramme.
Enfin, le centre G du parallélogramme est le milieu des diagonales :
$$\overrightarrow{G} = \frac{\overrightarrow{I} + \overrightarrow{N}}{2} = \frac{\frac{2 \overrightarrow{F} + \overrightarrow{L}}{3} + \frac{2 \overrightarrow{A} + \overrightarrow{L}}{3}}{2} = \frac{2 \overrightarrow{F} + \overrightarrow{L} + 2 \overrightarrow{A} + \overrightarrow{L}}{6} = \frac{2 \overrightarrow{F} + 2 \overrightarrow{A} + 2 \overrightarrow{L}}{6} = \frac{\overrightarrow{F} + \overrightarrow{A} + \overrightarrow{L}}{3}$$
Ce point G est donc l'isobarycentre de F, A, L avec coefficients égaux.
---
**Réponses finales :**
- A est barycentre de \{(K, 3); (L, 1)\}
- Le barycentre de \{(F, 2); (K, 3); (L, 1)\} est \(\overrightarrow{G} = \frac{1}{3} \overrightarrow{F} + \frac{2}{3} \overrightarrow{A}\)
- I, J, K sont alignés et J est le milieu de [IK]
- IJNM est un parallélogramme dont le centre G est l'isobarycentre de FAL
Barycentre Ex3 4157C4
Step-by-step solutions with LaTeX - clean, fast, and student-friendly.