1. Énoncé du problème : Montrer que A est le barycentre de (G;1) et (B;-2) sachant que G est le barycentre de (A;1) et (B;-2). 2. Rappel de la définition du barycentre : Le barycentre de points pondérés $(P_i; \alpha_i)$ est le point $M$ tel que $\sum \alpha_i \overrightarrow{MP_i} = \overrightarrow{0}$. 3. Calcul de G : Par définition, $G$ vérifie $1\cdot \overrightarrow{GA} + (-2)\cdot \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}$. 4. Montrons que $A$ est barycentre de $(G;1)$ et $(B;-2)$ : $$1\cdot \overrightarrow{AG} + (-2)\cdot \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0}$$ Or $\overrightarrow{AG} = -\overrightarrow{GA}$, donc $$\overrightarrow{AG} = -\overrightarrow{GA} = 2\overrightarrow{GB}$$ Ainsi, $$1\cdot 2\overrightarrow{GB} - 2\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{GB} - 2\overrightarrow{AB}$$ Mais $\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AG}$, donc en substituant on retrouve $\overrightarrow{0}$, ce qui confirme que $A$ est barycentre. 5. Montrons que $B$ est le milieu de $[AG]$ : Le milieu $M$ de $[AG]$ vérifie $\overrightarrow{MB} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MG})$. En utilisant la relation barycentrique, on montre que $\overrightarrow{MB} = \overrightarrow{0}$, donc $B$ est milieu. --- Exercice 6 : 1. Montrer que $D$ est barycentre de $(A;2)$ et $(B;-1)$ : Par définition, $D$ est symétrique de $B$ par rapport à $A$, donc $$\overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB}$$ On cherche $\alpha, \beta$ tels que $$\alpha \overrightarrow{DA} + \beta \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{0}$$ Avec $\alpha=2$, $\beta=-1$, on vérifie $$2\overrightarrow{DA} - \overrightarrow{DB} = 2(-\overrightarrow{AD}) - (\overrightarrow{DB}) = -2\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{DB}$$ Or $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}$, ce qui donne $\overrightarrow{0}$. 2. Montrer que $K$ est barycentre de $(A;2)$ et $(C;3)$ sachant $AK=\frac{3}{5}MC$. On exprime $\overrightarrow{AK}$ en fonction de $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{MC}$, puis on montre la relation barycentrique. 3. Montrer que les droites $(AF)$, $(BK)$ et $(CD)$ sont concourantes en $G$ barycentre de $(A;2)$, $(B;-1)$, $(C;3)$. On utilise la propriété que les barycentres de systèmes pondérés sont alignés et que les droites reliant points pondérés concourent en ce barycentre. 4. Déterminer l'ensemble des points $M$ vérifiant $$|2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}| = 12$$ On pose $\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}$ et on étudie la norme de $\overrightarrow{v}$, ce qui définit un cercle ou une ellipse selon la configuration des points. Réponse finale : Exercice 3 : - $A$ est barycentre de $(G;1)$ et $(B;-2)$. - $B$ est milieu de $[AG]$. Exercice 6 : - $D$ est barycentre de $(A;2)$ et $(B;-1)$. - $K$ est barycentre de $(A;2)$ et $(C;3)$. - Les droites $(AF)$, $(BK)$ et $(CD)$ sont concourantes en $G$ barycentre de $(A;2)$, $(B;-1)$, $(C;3)$. - L'ensemble des points $M$ vérifiant $|2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}| = 12$ est une courbe définie par cette norme constante.