1. **Énoncé du problème :** Soient les points $A(-7;1)$, $B(1;5)$, $C(-1;1)$ et les points $E$, $F$, $G$ définis par $$\overrightarrow{BF} = \frac{1}{4} \overrightarrow{BC}, \quad \overrightarrow{AE} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB}, \quad G = \text{bary} \{(A;-1),(B;3),(C;1)\}.$$ Nous devons montrer les expressions barycentriques de $E$ et $F$, vérifier l'alignement de $A,F,G$, puis déterminer leurs coordonnées. 2. **Rappel sur le barycentre :** Le barycentre de points $P_i$ avec coefficients $\alpha_i$ est le point $G$ tel que $$\sum \alpha_i \overrightarrow{GP_i} = \overrightarrow{0} \quad \text{et} \quad \sum \alpha_i \neq 0.$$ On peut exprimer $G$ en coordonnées par $$\overrightarrow{OG} = \frac{\sum \alpha_i \overrightarrow{OP_i}}{\sum \alpha_i}.$$ 3. **Montrer que $E = \text{bary} \{(A;-1),(B;3)\}$ :** On a $\overrightarrow{AE} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB}$. Or $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}$, donc $$\overrightarrow{AE} = \frac{3}{2}(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) = \frac{3}{2} \overrightarrow{B} - \frac{3}{2} \overrightarrow{A}.$$ D'où $$\overrightarrow{E} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{A} + \frac{3}{2} \overrightarrow{B} - \frac{3}{2} \overrightarrow{A} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{A} + \frac{3}{2} \overrightarrow{B}.$$ On peut écrire $$\overrightarrow{E} = \frac{-1 \times \overrightarrow{A} + 3 \times \overrightarrow{B}}{-1 + 3} = \frac{-1 \overrightarrow{A} + 3 \overrightarrow{B}}{2},$$ ce qui montre que $E$ est barycentre de $(A;-1)$ et $(B;3)$. 4. **Montrer que $F = \text{bary} \{(B;3),(C;1)\}$ :** On a $\overrightarrow{BF} = \frac{1}{4} \overrightarrow{BC}$. Or $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}$, donc $$\overrightarrow{BF} = \frac{1}{4}(\overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}) = \frac{1}{4} \overrightarrow{C} - \frac{1}{4} \overrightarrow{B}.$$ D'où $$\overrightarrow{F} = \overrightarrow{B} + \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{B} + \frac{1}{4} \overrightarrow{C} - \frac{1}{4} \overrightarrow{B} = \frac{3}{4} \overrightarrow{B} + \frac{1}{4} \overrightarrow{C}.$$ On peut écrire $$\overrightarrow{F} = \frac{3 \times \overrightarrow{B} + 1 \times \overrightarrow{C}}{3 + 1},$$ ce qui montre que $F$ est barycentre de $(B;3)$ et $(C;1)$. 5. **Montrer que $A$, $F$ et $G$ sont alignés :** Le point $G$ est barycentre de $(A;-1)$, $(B;3)$, $(C;1)$, donc $$\overrightarrow{G} = \frac{-1 \overrightarrow{A} + 3 \overrightarrow{B} + 1 \overrightarrow{C}}{-1 + 3 + 1} = \frac{-1 \overrightarrow{A} + 3 \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3}.$$ Calculons $\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{AG}$ : $$\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{A} = \left(\frac{3}{4} \overrightarrow{B} + \frac{1}{4} \overrightarrow{C}\right) - \overrightarrow{A} = -\overrightarrow{A} + \frac{3}{4} \overrightarrow{B} + \frac{1}{4} \overrightarrow{C},$$ $$\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{A} = \frac{-1 \overrightarrow{A} + 3 \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} - \overrightarrow{A} = -\overrightarrow{A} + \frac{3}{3} \overrightarrow{B} + \frac{1}{3} \overrightarrow{C}.$$ On remarque que $$\overrightarrow{AG} = \frac{4}{3} \overrightarrow{AF},$$ ce qui signifie que $\overrightarrow{AG}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AF}$, donc $A$, $F$, $G$ sont alignés. 6. **Déterminer les coordonnées de $E$, $F$ et $G$ :** - Coordonnées de $A(-7;1)$, $B(1;5)$, $C(-1;1)$. Pour $E$ : $$E = \frac{-1 \times A + 3 \times B}{2} = \left(\frac{-1 \times (-7) + 3 \times 1}{2}, \frac{-1 \times 1 + 3 \times 5}{2}\right) = \left(\frac{7 + 3}{2}, \frac{-1 + 15}{2}\right) = (5,7).$$ Pour $F$ : $$F = \frac{3 \times B + 1 \times C}{4} = \left(\frac{3 \times 1 + (-1)}{4}, \frac{3 \times 5 + 1}{4}\right) = \left(\frac{3 - 1}{4}, \frac{15 + 1}{4}\right) = \left(\frac{2}{4}, \frac{16}{4}\right) = (0.5,4).$$ Pour $G$ : $$G = \frac{-1 \times A + 3 \times B + 1 \times C}{3} = \left(\frac{-1 \times (-7) + 3 \times 1 + (-1)}{3}, \frac{-1 \times 1 + 3 \times 5 + 1}{3}\right) = \left(\frac{7 + 3 - 1}{3}, \frac{-1 + 15 + 1}{3}\right) = \left(\frac{9}{3}, \frac{15}{3}\right) = (3,5).$$ **Réponse finale :** $$E = (5,7), \quad F = (0.5,4), \quad G = (3,5).$$