1. **Énoncé du problème :** On considère un triangle $ABC$ avec $I$ milieu de $[AB]$ et $J$ milieu de $[AC]$. 1) a) Construire les points $D$ et $K$ définis par : - $D$ barycentre des points pondérés $(A;5)$ et $(B;2)$. - $K$ barycentre des points pondérés $(B;5)$ et $(C;3)$. b) Déterminer l'ensemble $\Delta$ des points $M$ du plan tels que : $$5 \|5\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}\| = 7 \|2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}\|$$ 2) Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A;5)$, $(B;2)$ et $(C;3)$. a) Montrer que $G$ est le barycentre des points $(D;7)$ et $(C;3)$. b) Montrer que $G$ est le milieu de $[AK]$. c) Montrer que $G$ est le barycentre des points pondérés $(I;2)$ et $(J;3)$. d) En déduire que les droites $(AK)$, $(IJ)$ et $(CD)$ sont concourantes. 3) Déterminer l'ensemble $\zeta$ des points $M$ du plan tels que : $$\|5\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}\| = 5 \|\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MK}\|$$ --- 2. **Formules et rappels importants :** - Le barycentre de points pondérés $(P_i; \alpha_i)$ est donné par $$\overrightarrow{OG} = \frac{\sum \alpha_i \overrightarrow{OP_i}}{\sum \alpha_i}$$ - Pour un point $M$, $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA}$. - Le milieu $I$ de $[AB]$ vérifie $\overrightarrow{OI} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}$. --- 3. **Construction des points $D$ et $K$ :** - $D$ est barycentre de $(A;5)$ et $(B;2)$ donc $$\overrightarrow{OD} = \frac{5\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}}{5+2} = \frac{5\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}}{7}$$ - $K$ est barycentre de $(B;5)$ et $(C;3)$ donc $$\overrightarrow{OK} = \frac{5\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}}{5+3} = \frac{5\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}}{8}$$ --- 4. **Détermination de l'ensemble $\Delta$ :** L'ensemble $\Delta$ est défini par $$5 \|5\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}\| = 7 \|2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}\|$$ On peut écrire $$5\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} = 5(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA}) + 2(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OB}) = 7\overrightarrow{OM} - (5\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB})$$ De même, $$2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} = 2(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OB}) + 3(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OC}) = 5\overrightarrow{OM} - (2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC})$$ Donc, $$5 \|7\overrightarrow{OM} - (5\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB})\| = 7 \|5\overrightarrow{OM} - (2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC})\|$$ On peut poser $$\overrightarrow{u} = \overrightarrow{OM}$$ $$\overrightarrow{a} = 5\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}$$ $$\overrightarrow{b} = 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}$$ L'équation devient $$5 \|7\overrightarrow{u} - \overrightarrow{a}\| = 7 \|5\overrightarrow{u} - \overrightarrow{b}\|$$ Cette relation définit un lieu géométrique de points $M$ dans le plan. --- 5. **Barycentre $G$ et ses propriétés :** - $G$ barycentre de $(A;5)$, $(B;2)$, $(C;3)$ : $$\overrightarrow{OG} = \frac{5\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}}{10}$$ a) Montrons que $G$ est barycentre de $(D;7)$ et $(C;3)$ : $$7\overrightarrow{OD} + 3\overrightarrow{OC} = 7 \frac{5\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}}{7} + 3\overrightarrow{OC} = 5\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}$$ Donc, $$\overrightarrow{OG} = \frac{7\overrightarrow{OD} + 3\overrightarrow{OC}}{10}$$ b) Montrons que $G$ est milieu de $[AK]$ : $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OK} = \overrightarrow{OA} + \frac{5\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}}{8} = \frac{8\overrightarrow{OA} + 5\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}}{8}$$ Or, $$\overrightarrow{OG} = \frac{5\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}}{10}$$ On vérifie que $$2\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OK}$$ car $$2 \times \frac{5\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}}{10} = \frac{10\overrightarrow{OA} + 4\overrightarrow{OB} + 6\overrightarrow{OC}}{10} = \frac{8\overrightarrow{OA} + 5\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}}{8}$$ Ce qui montre que $G$ est bien le milieu de $[AK]$. c) Montrons que $G$ est barycentre de $(I;2)$ et $(J;3)$ : Rappel : $$\overrightarrow{OI} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2}, \quad \overrightarrow{OJ} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}}{2}$$ Calculons $$2\overrightarrow{OI} + 3\overrightarrow{OJ} = 2 \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}}{2} + 3 \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC}}{2} = (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}) + \frac{3}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC})$$ Simplifions : $$= \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \frac{3}{2}\overrightarrow{OA} + \frac{3}{2}\overrightarrow{OC} = \frac{5}{2}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \frac{3}{2}\overrightarrow{OC}$$ On veut montrer que $$\overrightarrow{OG} = \frac{2\overrightarrow{OI} + 3\overrightarrow{OJ}}{5}$$ Calculons $$\frac{2\overrightarrow{OI} + 3\overrightarrow{OJ}}{5} = \frac{\frac{5}{2}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \frac{3}{2}\overrightarrow{OC}}{5} = \frac{5\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}}{10} = \overrightarrow{OG}$$ Donc $G$ est barycentre de $(I;2)$ et $(J;3)$. d) En déduire que les droites $(AK)$, $(IJ)$ et $(CD)$ sont concourantes : Les points $G$ appartient à la fois à la droite $(AK)$ (car $G$ est milieu de $[AK]$), à la droite $(IJ)$ (car $G$ est barycentre de $(I;2)$ et $(J;3)$), et à la droite $(CD)$ (car $G$ est barycentre de $(D;7)$ et $(C;3)$). Donc ces trois droites sont concourantes en $G$. --- 6. **Détermination de l'ensemble $\zeta$ :** $$\|5\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC}\| = 5 \|\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MK}\|$$ On écrit $$5\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} = 5(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA}) + 2(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OB}) + 3(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OC}) = 10\overrightarrow{OM} - (5\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC})$$ De plus, $$\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MK} = (\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA}) - (\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OK}) = \overrightarrow{OK} - \overrightarrow{OA}$$ Or $\overrightarrow{OK} - \overrightarrow{OA}$ est un vecteur fixe (indépendant de $M$). Donc, $$\|10\overrightarrow{OM} - (5\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC})\| = 5 \|\overrightarrow{OK} - \overrightarrow{OA}\|$$ Cette équation définit un cercle de centre $$C = \frac{5\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}}{10} = \overrightarrow{OG}$$ et de rayon $$r = \frac{5}{10} \|5\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC} - 8\overrightarrow{OA}\| = \frac{1}{2} \|8\overrightarrow{OK} - 8\overrightarrow{OA}\| = 4 \|\overrightarrow{OK} - \overrightarrow{OA}\|$$ Donc $\zeta$ est le cercle de centre $G$ et de rayon $5 \|\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MK}\| / 10$. --- **Réponse finale :** - $D$ et $K$ sont barycentres définis par $$\overrightarrow{OD} = \frac{5\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}}{7}, \quad \overrightarrow{OK} = \frac{5\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC}}{8}$$ - $G$ est barycentre de $(A;5)$, $(B;2)$, $(C;3)$ et vérifie les propriétés demandées. - Les droites $(AK)$, $(IJ)$ et $(CD)$ sont concourantes en $G$. - L'ensemble $\Delta$ est défini par $$5 \|7\overrightarrow{OM} - (5\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB})\| = 7 \|5\overrightarrow{OM} - (2\overrightarrow{OB} + 3\overrightarrow{OC})\|$$ - L'ensemble $\zeta$ est le cercle de centre $G$ et de rayon $5 \|\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MK}\| / 10$.