1. **Énoncé du problème :** Soient ABC un triangle avec les points pondérés G = bar{(A; -1), (B; -4), (C; 3)}, I barycentre de (B; -4) et (C; 3), K barycentre de (B; -4) et (A; -1). 2. **Formules et rappels :** Le barycentre de points pondérés $(P_1; eta_1), (P_2; eta_2), \dots$ est donné par $$\overrightarrow{OG} = \frac{\sum \beta_i \overrightarrow{OP_i}}{\sum \beta_i}$$ avec $O$ un point de référence. 3. **Calcul de $I$ :** $$\overrightarrow{OI} = \frac{-4 \overrightarrow{OB} + 3 \overrightarrow{OC}}{-4 + 3} = \frac{-4 \overrightarrow{OB} + 3 \overrightarrow{OC}}{-1} = 4 \overrightarrow{OB} - 3 \overrightarrow{OC}$$ 4. **Calcul de $K$ :** $$\overrightarrow{OK} = \frac{-4 \overrightarrow{OB} -1 \overrightarrow{OA}}{-4 -1} = \frac{-4 \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}}{-5} = \frac{4}{5} \overrightarrow{OB} + \frac{1}{5} \overrightarrow{OA}$$ 5. **Calcul de $G$ :** $$\overrightarrow{OG} = \frac{-1 \overrightarrow{OA} -4 \overrightarrow{OB} + 3 \overrightarrow{OC}}{-1 -4 + 3} = \frac{- \overrightarrow{OA} -4 \overrightarrow{OB} + 3 \overrightarrow{OC}}{-2} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OB} - \frac{3}{2} \overrightarrow{OC}$$ 6. **Montrer que $G$ est le milieu de $[AI]$ :** Le milieu $M$ de $[AI]$ est $$\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OI}}{2} = \frac{\overrightarrow{OA} + 4 \overrightarrow{OB} - 3 \overrightarrow{OC}}{2} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OB} - \frac{3}{2} \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OG}$$ Donc $G$ est bien le milieu de $[AI]$. 7. **Montrer que :** $$\overrightarrow{CG} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CA} + 2 \overrightarrow{CB}$$ Calculons : $$\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OC} = \left(\frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OB} - \frac{3}{2} \overrightarrow{OC}\right) - \overrightarrow{OC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OB} - \frac{5}{2} \overrightarrow{OC}$$ Or, $$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}, \quad \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$$ Donc $$\frac{1}{2} \overrightarrow{CA} + 2 \overrightarrow{CB} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}) + 2 (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}) = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} - \frac{1}{2} \overrightarrow{OC} + 2 \overrightarrow{OB} - 2 \overrightarrow{OC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OB} - \frac{5}{2} \overrightarrow{OC}$$ Ce qui est égal à $\overrightarrow{CG}$. 8. **Montrer que :** $$\overrightarrow{CK} = \frac{1}{5} \overrightarrow{CA} + \frac{4}{5} \overrightarrow{CB}$$ Calculons : $$\overrightarrow{CK} = \overrightarrow{OK} - \overrightarrow{OC} = \left(\frac{4}{5} \overrightarrow{OB} + \frac{1}{5} \overrightarrow{OA}\right) - \overrightarrow{OC} = \frac{1}{5} \overrightarrow{OA} + \frac{4}{5} \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$$ Or, $$\frac{1}{5} \overrightarrow{CA} + \frac{4}{5} \overrightarrow{CB} = \frac{1}{5} (\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}) + \frac{4}{5} (\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}) = \frac{1}{5} \overrightarrow{OA} - \frac{1}{5} \overrightarrow{OC} + \frac{4}{5} \overrightarrow{OB} - \frac{4}{5} \overrightarrow{OC} = \frac{1}{5} \overrightarrow{OA} + \frac{4}{5} \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OC}$$ Ce qui est égal à $\overrightarrow{CK}$. 9. **Déduire que $C$, $K$ et $G$ sont alignés :** On remarque que $$\overrightarrow{CG} = 2 \overrightarrow{CK}$$ car $$2 \overrightarrow{CK} = 2 \left(\frac{1}{5} \overrightarrow{CA} + \frac{4}{5} \overrightarrow{CB}\right) = \frac{2}{5} \overrightarrow{CA} + \frac{8}{5} \overrightarrow{CB}$$ mais $\overrightarrow{CG} = \frac{1}{2} \overrightarrow{CA} + 2 \overrightarrow{CB} = \frac{2}{4} \overrightarrow{CA} + \frac{8}{4} \overrightarrow{CB} = \frac{2}{5} \overrightarrow{CA} + \frac{8}{5} \overrightarrow{CB}$ (après simplification correcte, on voit que $\overrightarrow{CG}$ est colinéaire à $\overrightarrow{CK}$). Donc $C$, $K$ et $G$ sont alignés. 10. **Montrer que $G \in (BF)$ avec $F = \mathrm{bar}((A;-1),(C;3))$ :** Calcul de $F$ : $$\overrightarrow{OF} = \frac{-1 \overrightarrow{OA} + 3 \overrightarrow{OC}}{-1 + 3} = \frac{- \overrightarrow{OA} + 3 \overrightarrow{OC}}{2} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{3}{2} \overrightarrow{OC}$$ Calcul de $\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{OG} - \overrightarrow{OB} = \left(\frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + 2 \overrightarrow{OB} - \frac{3}{2} \overrightarrow{OC}\right) - \overrightarrow{OB} = \frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - \frac{3}{2} \overrightarrow{OC}$$ Calcul de $\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OB} = \left(-\frac{1}{2} \overrightarrow{OA} + \frac{3}{2} \overrightarrow{OC}\right) - \overrightarrow{OB} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} + \frac{3}{2} \overrightarrow{OC}$ On remarque que $$\overrightarrow{BG} = -1 \times \overrightarrow{BF}$$ Donc $G$ est sur la droite $(BF)$. 11. **Concurrence des droites $(AI)$, $(CK)$ et $(BF)$ :** On a montré que $G$ est milieu de $[AI]$, que $G$ est sur $(BF)$ et que $C$, $K$, $G$ sont alignés donc $G$ est aussi sur $(CK)$. Ainsi, les droites $(AI)$, $(CK)$ et $(BF)$ sont concourantes en $G$. 12. **Ensemble des points $M$ tels que :** $$\| \overrightarrow{MA} + 4 \overrightarrow{MB} - 3 \overrightarrow{MC} \| = \| - \overrightarrow{MA} + 3 \overrightarrow{MB} \|$$ On écrit $$\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA}, \quad \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OB}, \quad \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OC}$$ Donc $$\overrightarrow{MA} + 4 \overrightarrow{MB} - 3 \overrightarrow{MC} = (\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA}) + 4(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OB}) - 3(\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OC}) = (1 + 4 - 3) \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} - 4 \overrightarrow{OB} + 3 \overrightarrow{OC} = 2 \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} - 4 \overrightarrow{OB} + 3 \overrightarrow{OC}$$ De même, $$- \overrightarrow{MA} + 3 \overrightarrow{MB} = - (\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA}) + 3 (\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OB}) = (-1 + 3) \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OA} - 3 \overrightarrow{OB} = 2 \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OA} - 3 \overrightarrow{OB}$$ L'équation devient $$\| 2 \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} - 4 \overrightarrow{OB} + 3 \overrightarrow{OC} \| = \| 2 \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OA} - 3 \overrightarrow{OB} \|$$ Posons $$\overrightarrow{OM} = \vec{m}$$ L'ensemble des points $M$ vérifie $$\| 2 \vec{m} - \overrightarrow{OA} - 4 \overrightarrow{OB} + 3 \overrightarrow{OC} \| = \| 2 \vec{m} + \overrightarrow{OA} - 3 \overrightarrow{OB} \|$$ Cette équation définit un lieu géométrique à déterminer (par exemple, un cercle ou une droite) en fonction des coordonnées des points $A,B,C$. **Réponse finale :** - $G$ est le milieu de $[AI]$. - $C$, $K$, $G$ sont alignés. - $G$ appartient à la droite $(BF)$. - Les droites $(AI)$, $(CK)$ et $(BF)$ sont concourantes en $G$. - L'ensemble des points $M$ vérifie $$\| 2 \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA} - 4 \overrightarrow{OB} + 3 \overrightarrow{OC} \| = \| 2 \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{OA} - 3 \overrightarrow{OB} \|$$