1. **Énoncé du problème :** Soit un triangle rectangle en B avec les points A, B, C. On définit E comme le barycentre des points pondérés (A, 1) et (B, 2). On définit K comme le barycentre des points pondérés (A, 1) et (C, 3). 2. **Définition du barycentre :** Le barycentre de points pondérés $(P_1, m_1), (P_2, m_2), \ldots, (P_n, m_n)$ est donné par la formule : $$G = \frac{\sum_{i=1}^n m_i P_i}{\sum_{i=1}^n m_i}$$ Cela signifie que la position du barycentre est la moyenne pondérée des positions des points. 3. **Calcul des coordonnées de E :** Soit $\vec{A}$ et $\vec{B}$ les vecteurs position des points A et B. $$\vec{E} = \frac{1 \cdot \vec{A} + 2 \cdot \vec{B}}{1 + 2} = \frac{\vec{A} + 2\vec{B}}{3}$$ 4. **Calcul des coordonnées de K :** Soit $\vec{C}$ le vecteur position du point C. $$\vec{K} = \frac{1 \cdot \vec{A} + 3 \cdot \vec{C}}{1 + 3} = \frac{\vec{A} + 3\vec{C}}{4}$$ 5. **Montrer que les droites (EC) et (BK) se coupent en G, barycentre des points pondérés (A,1), (B,2), (C,3) :** Définissons $\vec{G}$ comme barycentre des points pondérés : $$\vec{G} = \frac{1 \cdot \vec{A} + 2 \cdot \vec{B} + 3 \cdot \vec{C}}{1 + 2 + 3} = \frac{\vec{A} + 2\vec{B} + 3\vec{C}}{6}$$ 6. **Vérification que G appartient à (EC) :** On exprime $\vec{G}$ comme un point sur la droite (EC) : $$\vec{E} = \frac{\vec{A} + 2\vec{B}}{3}, \quad \vec{C} = \vec{C}$$ Cherchons $t$ tel que $$\vec{G} = (1 - t) \vec{E} + t \vec{C}$$ Substituons : $$(1 - t) \frac{\vec{A} + 2\vec{B}}{3} + t \vec{C} = \frac{\vec{A} + 2\vec{B} + 3\vec{C}}{6}$$ Multiplions par 6 : $$2(1 - t)(\vec{A} + 2\vec{B}) + 6t \vec{C} = \vec{A} + 2\vec{B} + 3\vec{C}$$ Développons : $$2(1 - t)\vec{A} + 4(1 - t)\vec{B} + 6t \vec{C} = \vec{A} + 2\vec{B} + 3\vec{C}$$ Égalisons les coefficients : - Pour $\vec{A}$ : $2(1 - t) = 1 \Rightarrow 2 - 2t = 1 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$ - Pour $\vec{B}$ : $4(1 - t) = 2 \Rightarrow 4 - 4t = 2 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$ - Pour $\vec{C}$ : $6t = 3 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$ Tous les coefficients donnent $t = \frac{1}{2}$, donc $\vec{G}$ est bien sur la droite (EC). 7. **Vérification que G appartient à (BK) :** De même, exprimons $\vec{G}$ sur la droite (BK) : $$\vec{B} = \vec{B}, \quad \vec{K} = \frac{\vec{A} + 3\vec{C}}{4}$$ Cherchons $s$ tel que $$\vec{G} = (1 - s) \vec{B} + s \vec{K}$$ Substituons : $$(1 - s) \vec{B} + s \frac{\vec{A} + 3\vec{C}}{4} = \frac{\vec{A} + 2\vec{B} + 3\vec{C}}{6}$$ Multiplions par 12 : $$12(1 - s) \vec{B} + 3s (\vec{A} + 3\vec{C}) = 2(\vec{A} + 2\vec{B} + 3\vec{C})$$ Développons : $$12(1 - s) \vec{B} + 3s \vec{A} + 9s \vec{C} = 2\vec{A} + 4\vec{B} + 6\vec{C}$$ Égalisons les coefficients : - Pour $\vec{A}$ : $3s = 2 \Rightarrow s = \frac{2}{3}$ - Pour $\vec{B}$ : $12(1 - s) = 4 \Rightarrow 12 - 12s = 4 \Rightarrow s = \frac{2}{3}$ - Pour $\vec{C}$ : $9s = 6 \Rightarrow s = \frac{2}{3}$ Tous les coefficients donnent $s = \frac{2}{3}$, donc $\vec{G}$ est bien sur la droite (BK). **Conclusion :** Le point $G$ est l'intersection des droites (EC) et (BK) et est le barycentre des points pondérés $(A,1), (B,2), (C,3)$. **Réponse finale :** $$\boxed{\vec{G} = \frac{\vec{A} + 2\vec{B} + 3\vec{C}}{6}}$$