1. **Énoncé du problème :** On considère un triangle ABC avec les points E, F, G, K définis par des barycentres et des relations vectorielles. 2. **Rappel des définitions et formules :** - Le barycentre de points pondérés $(A; \alpha), (B; \beta), (C; \gamma)$ est le point $M$ tel que $\alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{MB} + \gamma \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ avec $\alpha + \beta + \gamma \neq 0$. - Le milieu d'un segment $[XY]$ est le barycentre $\{(X;1),(Y;1)\}$. 3. **Question 1 : Montrer que $E$ est le barycentre $\{(A;-1),(B;2)\}$** - On a $\overrightarrow{AE} = 2 \overrightarrow{AB}$. - Or $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{A}$ et $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}$. - Donc $\overrightarrow{E} = \overrightarrow{A} + 2(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) = 2\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}$. - Posons $E = \text{bary}\{(A;\alpha),(B;\beta)\}$ avec $\alpha + \beta \neq 0$. - Par définition, $\alpha \overrightarrow{EA} + \beta \overrightarrow{EB} = \overrightarrow{0}$. - Ce qui donne $\alpha (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{E}) + \beta (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{E}) = \overrightarrow{0}$. - En substituant $\overrightarrow{E} = 2\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}$, on obtient $$\alpha (\overrightarrow{A} - (2\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A})) + \beta (\overrightarrow{B} - (2\overrightarrow{B} - \overrightarrow{A})) = \overrightarrow{0}$$ $$\alpha (2\overrightarrow{A} - 2\overrightarrow{B}) + \beta (-\overrightarrow{B} + \overrightarrow{A}) = \overrightarrow{0}$$ $$2\alpha (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}) + \beta (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{0}$$ - Factorisant, $(2\alpha + \beta)(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{0}$. - Comme $\overrightarrow{A} \neq \overrightarrow{B}$, on a $2\alpha + \beta = 0$. - Choisissons $\alpha = -1$, alors $\beta = 2$. - Donc $E$ est barycentre $\{(A;-1),(B;2)\}$. 4. **Question 2 : Montrer que $G = \text{bary}\{(A;-1),(B;2),(C;1)\}$ est le milieu de $[CE]$** - Par définition, $G$ vérifie $$-1 \overrightarrow{GA} + 2 \overrightarrow{GB} + 1 \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$$ - On veut montrer que $G$ est milieu de $[CE]$, donc $$\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{GE}$$ - Exprimons $\overrightarrow{G}$ en fonction de $A,B,C$: $$\overrightarrow{G} = \frac{-1 \overrightarrow{A} + 2 \overrightarrow{B} + 1 \overrightarrow{C}}{-1 + 2 + 1} = \frac{-\overrightarrow{A} + 2 \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2}$$ - Rappelons $\overrightarrow{E} = 2 \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}$. - Calculons $\overrightarrow{C} + \overrightarrow{E} = \overrightarrow{C} + 2 \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}$. - Donc $\overrightarrow{G} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{E}}{2}$, ce qui est la définition du milieu de $[CE]$. 5. **Question 3 : Montrer que $A, K, G$ sont alignés avec $K = \text{bary}\{(B;2),(C;1)\}$** - Calculons $\overrightarrow{K} = \frac{2 \overrightarrow{B} + 1 \overrightarrow{C}}{3}$. - Calculons $\overrightarrow{G} = \frac{-\overrightarrow{A} + 2 \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2}$. - Vecteur $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{A} = \frac{-\overrightarrow{A} + 2 \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2} - \overrightarrow{A} = \frac{-3 \overrightarrow{A} + 2 \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2}$. - Vecteur $\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{K} - \overrightarrow{A} = \frac{2 \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} - \overrightarrow{A} = \frac{-3 \overrightarrow{A} + 2 \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3}$. - On remarque que $\overrightarrow{AG} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AK}$. - Donc $A, K, G$ sont alignés car $\overrightarrow{AG}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AK}$. 6. **Question 4 : Décrire l’ensemble des points $M$ tels que $\| - \overrightarrow{MA} + 2 \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \| = CE$** - Par définition, $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{M}$, etc. - Donc $$- \overrightarrow{MA} + 2 \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = - (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{M}) + 2 (\overrightarrow{B} - \overrightarrow{M}) + (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{M})$$ $$= -\overrightarrow{A} + \overrightarrow{M} + 2 \overrightarrow{B} - 2 \overrightarrow{M} + \overrightarrow{C} - \overrightarrow{M} = -\overrightarrow{A} + 2 \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} - 2 \overrightarrow{M}$$ - Posons $\overrightarrow{V} = -\overrightarrow{A} + 2 \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}$. - L'équation devient $$\| \overrightarrow{V} - 2 \overrightarrow{M} \| = CE$$ - Or $CE = \| \overrightarrow{E} - \overrightarrow{C} \|$ avec $\overrightarrow{E} = 2 \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}$. - Donc $CE = \| (2 \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) - \overrightarrow{C} \| = \| \overrightarrow{V} - 2 \overrightarrow{C} \|$. - L'ensemble des points $M$ vérifiant $$\| \overrightarrow{V} - 2 \overrightarrow{M} \| = \| \overrightarrow{V} - 2 \overrightarrow{C} \|$$ - Cela décrit une sphère (ou cercle dans le plan) de centre $\frac{\overrightarrow{V}}{2}$ et de rayon $\| \overrightarrow{V} - 2 \overrightarrow{C} \| / 2$. **Réponse finale :** - $E$ est barycentre $\{(A;-1),(B;2)\}$. - $G$ est le milieu de $[CE]$. - $A, K, G$ sont alignés. - L'ensemble des points $M$ vérifiant $\| - \overrightarrow{MA} + 2 \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} \| = CE$ est un cercle de centre $\frac{-\overrightarrow{A} + 2 \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2}$ et de rayon $\frac{CE}{2}$.