1. **Énoncé du problème :** Soient ABC un triangle dans le plan (P) et G = bary{(A, 4); (B, 3); (C, 2)}. On considère : E = bary{(A, -1); (B, 3)} ; F = bary{(A, -1); (C, 2)} ; K = bary{(B, 3); (C, 2)}. 2. **Vérification des relations vectorielles :** - Pour $AE = \frac{3}{2} AB$ : $E = \frac{-1 \cdot A + 3 \cdot B}{-1 + 3} = \frac{-A + 3B}{2}$ Donc $\overrightarrow{AE} = E - A = \frac{-A + 3B}{2} - A = \frac{-2A + 3B}{2} = \frac{3B - 2A}{2}$ Or $\overrightarrow{AB} = B - A$, donc $\overrightarrow{AE} = \frac{3}{2} (B - A) = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB}$. - Pour $AF = 2 AC$ : $F = \frac{-1 \cdot A + 2 \cdot C}{-1 + 2} = -A + 2C$ Donc $\overrightarrow{AF} = F - A = (-A + 2C) - A = 2C - 2A = 2 (C - A) = 2 \overrightarrow{AC}$. - Pour $BK = \frac{2}{5} BC$ : $K = \frac{3B + 2C}{3 + 2} = \frac{3B + 2C}{5}$ Donc $\overrightarrow{BK} = K - B = \frac{3B + 2C}{5} - B = \frac{3B + 2C - 5B}{5} = \frac{2C - 2B}{5} = \frac{2}{5} (C - B) = \frac{2}{5} \overrightarrow{BC}$. 3. **Conclusion :** Les relations vectorielles sont vérifiées : $$ \overrightarrow{AE} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB}, \quad \overrightarrow{AF} = 2 \overrightarrow{AC}, \quad \overrightarrow{BK} = \frac{2}{5} \overrightarrow{BC} $$