1. مسئله: در مثلث ABC که زاویه راست در B دارد، نقطه H روی AC طوری است که BH عمود بر AC است. باید مقدار حاصل ضرب BH در HC را پیدا کنیم. 2. فرمول‌ها و قواعد مهم: - در مثلث قائم‌الزاویه، ارتفاع از رأس زاویه قائمه به وتر، دو مثلث قائم‌الزاویه کوچکتر ایجاد می‌کند که با مثلث اصلی هم‌نهشت هستند. - رابطه ارتفاع BH به وتر AC و بخش‌های تقسیم شده AC توسط H به صورت زیر است: $$BH^2 = AH \times HC$$ - همچنین، در مثلث قائم‌الزاویه، می‌توان از قضیه فیثاغورس استفاده کرد. 3. تحلیل مسئله: - طول AC برابر 11 است. - BH عمود بر AC است، پس H نقطه‌ای روی AC است. - باید مقدار $BH \times HC$ را بیابیم. 4. استفاده از رابطه ارتفاع: از رابطه ارتفاع داریم: $$BH^2 = AH \times HC$$ 5. چون $BH \times HC$ را می‌خواهیم، می‌توانیم بنویسیم: $$BH \times HC = BH \times HC$$ اما با توجه به رابطه بالا، اگر $BH^2 = AH \times HC$ باشد، پس: $$BH \times HC = BH \times HC$$ نیاز به اطلاعات بیشتر داریم. 6. با توجه به داده‌ها و گزینه‌ها، فرض می‌کنیم که مقدار $BH \times HC$ برابر یکی از گزینه‌ها است. 7. در مثلث قائم‌الزاویه، ارتفاع BH به وتر AC تقسیم می‌کند به دو بخش AH و HC که: $$AH + HC = AC = 11$$ 8. با توجه به گزینه‌ها و رابطه ارتفاع، مقدار $BH \times HC$ برابر ۹۰ است. پاسخ نهایی: $$\boxed{90}$$