1. დავწეროთ ამოცანა: გვაქვს წრეწირის რადიუსი $20$ სმ, ორი ურთიერთგადამკვეთი ქორდა სიგრძეებით $32$ სმ და $20\sqrt{3}$ სმ, რომლებიც ურთიერთმართობიან. უნდა ვიპოვოთ მონაკვეთები, რომლებადაც ეს ქორდები ერთმანეთს ყოფენ. 2. წრეწირის ქორდების ურთიერთგადაკვეთისას, მონაკვეთების პროდუქტი ერთ ქორდაზე ტოლია მეორეზე მონაკვეთების პროდუქტს. ეს არის ქორდების თეორემა: $$AE \times EB = CE \times ED$$ სადაც $E$ არის გადაკვეთის წერტილი, $AE$ და $EB$ მონაკვეთებია პირველ ქორდაზე, $CE$ და $ED$ მეორეზე. 3. დავნიშნოთ პირველ ქორდაზე მონაკვეთები $x$ და $32 - x$, ხოლო მეორეზე $y$ და $20\sqrt{3} - y$. 4. ქორდების თეორემის მიხედვით: $$x(32 - x) = y(20\sqrt{3} - y)$$ 5. რადგან ქორდები ურთიერთმართობიან, მათ შორის კუთხე $90^\circ$ა. წრეწირის რადიუსი $20$ სმ, ამიტომ თითოეული ქორდის მონაკვეთების სიგრძეები დაკავშირებულია პითაგორას თეორემით. 6. პირველ ქორდაზე: $$x^2 + y^2 = 20^2 = 400$$ 7. ახლა გვაქვს სისტემა: $$\begin{cases} x(32 - x) = y(20\sqrt{3} - y) \\ x^2 + y^2 = 400 \end{cases}$$ 8. გავხსნათ პირველი განტოლება: $$32x - x^2 = 20\sqrt{3}y - y^2$$ 9. გადავიტანოთ ყველაფერი ერთ მხარეს: $$x^2 - 32x + y^2 - 20\sqrt{3}y = 0$$ 10. მეორე განტოლებიდან $y^2 = 400 - x^2$, ჩავანაცვლოთ: $$x^2 - 32x + (400 - x^2) - 20\sqrt{3}y = 0$$ 11. გამარტივება: $$-32x + 400 - 20\sqrt{3}y = 0$$ 12. გადავწყვიტოთ $y$: $$20\sqrt{3}y = 400 - 32x$$ $$y = \frac{400 - 32x}{20\sqrt{3}} = \frac{20 - 1.6x}{\sqrt{3}}$$ 13. ჩავანაცვლოთ $y$ მეორე განტოლებაში: $$x^2 + y^2 = 400$$ 14. ჩავსვათ $y$: $$x^2 + \left(\frac{20 - 1.6x}{\sqrt{3}}\right)^2 = 400$$ 15. გამოთვალოთ: $$x^2 + \frac{(20 - 1.6x)^2}{3} = 400$$ 16. გავამრავლოთ ორივე მხარე 3-ით: $$3x^2 + (20 - 1.6x)^2 = 1200$$ 17. გავხსნათ კვადრატი: $$(20 - 1.6x)^2 = 400 - 64x + 2.56x^2$$ 18. ჩავანაცვლოთ: $$3x^2 + 400 - 64x + 2.56x^2 = 1200$$ 19. შევკრათ მსგავსი წევრები: $$(3 + 2.56)x^2 - 64x + 400 = 1200$$ 20. გამარტივება: $$5.56x^2 - 64x + 400 = 1200$$ 21. გადავიტანოთ 1200 მარჯვნივ: $$5.56x^2 - 64x - 800 = 0$$ 22. გავხსნათ კვადრატული განტოლება: $$a = 5.56, b = -64, c = -800$$ 23. დისკრიმინანტი: $$D = (-64)^2 - 4 \times 5.56 \times (-800) = 4096 + 17792 = 21888$$ 24. ფესვები: $$x = \frac{64 \pm \sqrt{21888}}{2 \times 5.56}$$ 25. $\sqrt{21888} \approx 147.95$ 26. ამიტომ: $$x_1 = \frac{64 + 147.95}{11.12} \approx 19.37$$ $$x_2 = \frac{64 - 147.95}{11.12} \approx -7.56$$ (უარყოფითი არ შეიძლება) 27. $x \approx 19.37$ სმ, მაშინ $$y = \frac{20 - 1.6 \times 19.37}{\sqrt{3}} = \frac{20 - 30.99}{1.732} = \frac{-10.99}{1.732} \approx -6.34$$ 28. უარყოფითი მნიშვნელობა ნიშნავს, რომ მონაკვეთი მეორე მხარესაა, ამიტომ მონაკვეთის სიგრძე $6.34$ სმ. 29. საბოლოოდ, მონაკვეთები პირველ ქორდაზე არიან $19.37$ სმ და $32 - 19.37 = 12.63$ სმ. მეორე ქორდაზე მონაკვეთებია $6.34$ სმ და $20\sqrt{3} - 6.34 \approx 34.64 - 6.34 = 28.3$ სმ. **პასუხი:** მონაკვეთები პირველ ქორდაზე: $19.37$ სმ და $12.63$ სმ; მეორეზე: $6.34$ სმ და $28.3$ სმ.