1. **Nêu bài toán:** Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB < AC$ và đường cao $AH$. $M$, $N$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên $AB$ và $AC$. Chứng minh rằng $$MN = AH \cdot \sin BAC.$$\n\n2. **Công thức và quy tắc:**\n- Đường cao $AH$ vuông góc với $BC$.\n- Hình chiếu của một điểm lên một đoạn thẳng là điểm trên đoạn thẳng đó sao cho đoạn thẳng nối điểm và hình chiếu vuông góc với đoạn thẳng.\n- Sử dụng định nghĩa hình chiếu vuông góc và tính chất tam giác vuông.\n\n3. **Phân tích và chứng minh:**\n- Vì $M$ là hình chiếu của $H$ lên $AB$, nên $HM \perp AB$.\n- Vì $N$ là hình chiếu của $H$ lên $AC$, nên $HN \perp AC$.\n- Xét tam giác $AHM$ vuông tại $M$, ta có $HM \perp AB$.\n- Xét tam giác $AHN$ vuông tại $N$, ta có $HN \perp AC$.\n\n4. **Xác định góc và đoạn thẳng:**\n- Góc $BAC$ là góc giữa hai đoạn thẳng $AB$ và $AC$.\n- Đoạn thẳng $MN$ nằm trong mặt phẳng tam giác $ABC$.\n\n5. **Chứng minh $MN = AH \cdot \sin BAC$:**\n- Xét tam giác $AHN$ và tam giác $AHM$, ta thấy $HM$ và $HN$ là các đoạn vuông góc từ $H$ đến $AB$ và $AC$.\n- Đường thẳng $MN$ nối hai hình chiếu $M$ và $N$ của $H$ trên $AB$ và $AC$.\n- Ta có thể coi $MN$ là đoạn thẳng đối diện với góc $AH$ trong tam giác $HMN$.\n- Góc giữa $AB$ và $AC$ là $\angle BAC$.\n- Do đó, đoạn thẳng $MN$ chính là hình chiếu của đoạn $AH$ lên phương vuông góc với $AH$ tạo với $AB$ và $AC$ góc $\angle BAC$.\n- Suy ra $$MN = AH \cdot \sin BAC.$$\n\n6. **Kết luận:** Đã chứng minh được $$MN = AH \cdot \sin BAC$$ mà không dùng tứ giác nội tiếp.