1. نبدأ بكتابة معادلة الدائرة العامة التي تمر بالنقاط المعطاة. معادلة الدائرة في المستوى هي: $$ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $$ حيث $(h, k)$ هو مركز الدائرة و$r$ هو نصف قطرها. 2. لدينا ثلاث نقاط تمر بها الدائرة: - النقطة الأولى: $(9, 0)$ - النقطة الثانية: $(0, 2)$ - النقطة الثالثة: $(1, -2)$ 3. نعوض كل نقطة في معادلة الدائرة للحصول على ثلاث معادلات: من النقطة $(9, 0)$: $$ (9 - h)^2 + (0 - k)^2 = r^2 $$ من النقطة $(0, 2)$: $$ (0 - h)^2 + (2 - k)^2 = r^2 $$ من النقطة $(1, -2)$: $$ (1 - h)^2 + (-2 - k)^2 = r^2 $$ 4. نطرح المعادلات للحصول على معادلات بدون $r^2$: نطرح المعادلة الثانية من الأولى: $$ (9 - h)^2 + (0 - k)^2 = (0 - h)^2 + (2 - k)^2 $$ نوسع الحدود: $$ (9 - h)^2 + k^2 = h^2 + (2 - k)^2 $$ $$ (81 - 18h + h^2) + k^2 = h^2 + (4 - 4k + k^2) $$ نبسط: $$ 81 - 18h + k^2 = 4 - 4k + k^2 $$ نلغي $k^2$ من الطرفين: $$ 81 - 18h = 4 - 4k $$ نرتب: $$ 81 - 18h - 4 = -4k $$ $$ 77 - 18h = -4k $$ نكتبها كالتالي: $$ 18h - 4k = 77 $$ 5. نطرح المعادلة الثالثة من الثانية: $$ (0 - h)^2 + (2 - k)^2 = (1 - h)^2 + (-2 - k)^2 $$ نوسع الحدود: $$ h^2 + (2 - k)^2 = (1 - h)^2 + (-2 - k)^2 $$ $$ h^2 + (4 - 4k + k^2) = (1 - 2h + h^2) + (4 + 4k + k^2) $$ نبسط: $$ h^2 + 4 - 4k + k^2 = 1 - 2h + h^2 + 4 + 4k + k^2 $$ نلغي $h^2$ و$k^2$ من الطرفين: $$ 4 - 4k = 1 - 2h + 4 + 4k $$ $$ 4 - 4k = 5 - 2h + 4k $$ نرتب: $$ 4 - 4k - 5 + 2h - 4k = 0 $$ $$ -1 + 2h - 8k = 0 $$ $$ 2h - 8k = 1 $$ 6. لدينا نظام معادلتين: $$ \begin{cases} 18h - 4k = 77 \\ 2h - 8k = 1 \end{cases} $$ 7. نحل النظام: نضرب المعادلة الثانية في 9: $$ 18h - 72k = 9 $$ نطرح المعادلة الأولى من هذه: $$ (18h - 72k) - (18h - 4k) = 9 - 77 $$ $$ 18h - 72k - 18h + 4k = -68 $$ $$ -68k = -68 $$ $$ k = 1 $$ 8. نعوض $k=1$ في المعادلة الثانية: $$ 2h - 8(1) = 1 $$ $$ 2h - 8 = 1 $$ $$ 2h = 9 $$ $$ h = \frac{9}{2} = 4.5 $$ 9. نحسب نصف القطر $r$ باستخدام النقطة الأولى: $$ (9 - 4.5)^2 + (0 - 1)^2 = r^2 $$ $$ (4.5)^2 + (-1)^2 = r^2 $$ $$ 20.25 + 1 = r^2 $$ $$ r^2 = 21.25 $$ 10. إذن معادلة الدائرة هي: $$ (x - 4.5)^2 + (y - 1)^2 = 21.25 $$ والناتج النهائي: - مركز الدائرة: $(4.5, 1)$ - نصف القطر: $\sqrt{21.25} \approx 4.61$