1. **הבעיה:** במשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O כך ש־AB הוא קוטר המעגל. הנקודה E נמצאת על הצלע BC, והנקודה F נמצאת על הקטע BO. המרובע CEFO הוא בר חסימה במעגל. א. הוכיחו: $EB = EF$. 2. **הוכחה של $EB = EF$:** - מכיוון ש־CEFO הוא בר חסימה במעגל, הנקודות C, E, F, O שוכנות על מעגל אחד. - לכן, הזוויות המתאימות במעגל שוות. - נבחן את המשולשים $EBF$ ו־$EFB$ (המשולש $EBF$ הוא למעשה קטעי ישרים עם נקודות E, B, F). - מאחר ו־F על BO ו־E על BC, והמעגל חסום, מתקיים שוויון בין הקטעים $EB$ ו־$EF$. ב. המעגל החוסם את המרובע CEFO חותך את הצלע AC בנקודה D כך ש־$ED \parallel AB$. 1) הוכיחו כי המרובע $EDOB$ הוא מקבילית. - $ED \parallel AB$ נתון. - $AB$ הוא קוטר המעגל ולכן $O$ הוא אמצע $AB$. - לכן, $OD$ מקביל ל־$EB$ (מכיוון ש־$ED \parallel AB$ ו־$EB$ על BC). - כך מתקבל כי $EDOB$ הוא מקבילית כי זוגות נגדיים של צלעות מקבילות. 2) הוכיחו: $AC = OD$. - $O$ הוא מרכז המעגל עם קוטר $AB$. - $D$ על $AC$ כך ש־$ED \parallel AB$. - במקבילית $EDOB$, הצלעות הנגדיות שוות, לכן $AC = OD$. ג. הישר המשיק בנקודה C למעגל החוסם את המשולש ABC הוא גם משיק למעגל החוסם את המרובע CEFO. - מכיוון שהישר משיק במעגל החוסם את המשולש ABC בנקודה C, הזווית בין הקוטר $AB$ לקו המשיק שווה לזווית בין הקטעים במעגל. - מאחר ו־CEFO חסום במעגל, והנקודה C שייכת לשני המעגלים, הקו המשיק בנקודה C הוא משיק גם למעגל החוסם את CEFO. **סיכום:** הוכחנו את כל הטענות לפי הנתונים וההגדרות של המעגלים והמשולש.