1. **הבעיה:** במשולש ABC חסום במעגל, נקודה N על הקשת AB היא מרכז מעגל העובר דרך A ו-B וחותך את המיתר AC בנקודה D. המיתר NC חותך את המעגל שמרכזו N בנקודה E ואת המיתר AB בנקודה F. נדרש להוכיח: א. E היא אמצע הקשת BD. ב. BC = CD. ג. בהינתן ש-\(\triangle FAD \sim \triangle CAB\), להוכיח ש-AC הוא קוטר המעגל החוסם את ABC. 2. **הוכחה לא.** - נקודה N היא מרכז המעגל שעובר דרך A ו-B, לכן \(NA = NB\). - נקודת E היא חיתוך של NC עם המעגל שמרכזו N, ולכן \(NE = NA = NB\) כי כל נקודה על המעגל במרחק שווה מהמרכז. - הקשת BD היא קשת במעגל שמרכזו N, כאשר B ו-D על המעגל. - מאחר ו-E על הקשת BD ו-NE שווה לרדיוס המעגל, E היא אמצע הקשת BD. 3. **הוכחה לב.** - D היא נקודת חיתוך של המיתר AC עם המעגל שמרכזו N. - נקודות B, C, D על המעגל החוסם את ABC. - לפי תכונות המעגל, אם E אמצע הקשת BD, אז הקשת BD שווה לקשת BC. - לכן, המיתרים BC ו-CD שווים באורכם, כלומר \(BC = CD\). 4. **הוכחה לג.** - נתון ש-\(\triangle FAD \sim \triangle CAB\), כלומר היחסים בין הצלעות והזוויות שווים. - יחס הדמיון נותן ש-\(\angle CAD = \angle FAD\) ויחס הצלעות מתאים. - מכיוון ש-AC הוא מיתר במעגל החוסם את ABC, והדמיון מראה ש-\(\angle CAB = 90^\circ\), כלומר AC הוא קוטר המעגל. **סיכום:** - הראינו ש-E היא אמצע הקשת BD. - הראינו ש-BC = CD. - הראינו ש-AC הוא קוטר המעגל החוסם את ABC.