1. ปัญหา: พิจารณาสมการกราฟ 4 สมการ และตรวจสอบว่าแต่ละสมการเป็นกราฟประเภทใด (วงกลม, พาราโบลา, วงรี, ไฮเพอโรบลา) 2. กฎพื้นฐานสำหรับสมการกราฟกราฟโคเนีย (conic sections): - วงกลม: สมการรูปแบบ $ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $ โดย $r^2 > 0$ - พาราโบลา: สมการที่มีตัวแปรยกกำลังสองแค่ตัวเดียว เช่น $ (x - h)^2 = 4p(y - k) $ - วงรี: สมการรูปแบบ $ \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 $ โดย $a^2, b^2 > 0$ - ไฮเพอโรบลา: สมการรูปแบบ $ \frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 $ หรือสลับตำแหน่งเครื่องหมาย 3. วิเคราะห์สมการแต่ละข้อ: (1) $x^2 + y^2 + 8x - 6y + 25 = 0$ - จัดรูปโดยจัดกลุ่มและเติมกำลังสองสมบูรณ์: $$x^2 + 8x + y^2 - 6y = -25$$ $$ (x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 6y + 9) = -25 + 16 + 9 $$ $$ (x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 0 $$ - รัศมี $r = 0$ ดังนั้นเป็นวงกลมจุดเดียว (จุดศูนย์กลาง) (2) $ (x - 1)^2 = 4(2)(y - 2)^2 $ - สมการนี้มีรูปแบบ $ (x - h)^2 = 4p(y - k)^2 $ ซึ่งไม่ใช่พาราโบลาเพราะ $y$ ยกกำลังสองทั้งสองข้าง - เป็นสมการของวงรีหรือไฮเพอโรบลา ต้องตรวจสอบเพิ่มเติม แต่เนื่องจากเป็นกำลังสองทั้งสองข้างและเท่ากัน อาจเป็นวงรี (3) $ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 = -1 $ - ด้านขวาเป็นจำนวนลบ ทำให้สมการไม่มีจุดจริงบนระนาบ จึงไม่ใช่กราฟจริง (4) $ \frac{(2 - y)^2}{9} - \frac{(3 - x)^2}{16} = 1 $ - รูปแบบนี้ตรงกับสมการไฮเพอโรบลา 4. สรุป: - สมการที่ถูกต้องและเป็นกราฟจริงคือ (1), (2), (4) - (1) เป็นวงกลม - (2) เป็นวงรี - (4) เป็นไฮเพอโรบลา ดังนั้นมีข้อความถูกต้องทั้งหมด 3 ข้อความ 5. สำหรับโจทย์ที่สอง: (1) สมการวงกลม $ (x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 5 $ - รัศมีคือ $\sqrt{5} \approx 2.236$ ไม่ใช่ 5 ดังนั้นข้อ (1) ผิด (2) สมการพาราโบลา $ (y - 1)^2 = -8(x + 1) $ - รูปแบบพาราโบลาแนวนอน มีสูตรไดเรกตริกซ์ $ x = h - \frac{p}{2} $ - แต่โจทย์บอกไดเรกตริกซ์เป็น $ y = 1 $ ซึ่งไม่ถูกต้อง ดังนั้นข้อ (2) ผิด 6. สรุปข้อที่ถูกต้องคือไม่มีข้อถูก (ง. ข้อ (1) และ ข้อ (2) ผิด) --- **วิธีดูกราฟง่ายๆ:** - ถ้าสมการมี $x^2$ และ $y^2$ ทั้งสองตัวและเครื่องหมายบวก = วงกลมหรือวงรี - ถ้ามีแค่ $x^2$ หรือ $y^2$ ตัวเดียว = พาราโบลา - ถ้ามี $x^2$ และ $y^2$ แต่เครื่องหมายต่างกัน (บวก-ลบ) = ไฮเพอโรบลา - ถ้าผลลัพธ์เป็นลบหรือไม่สมเหตุสมผล = ไม่มีกราฟจริง