1. **Énoncé du problème** : Trouver les coordonnées du point B sachant que le point A a pour coordonnées $A(3,4)$, la distance entre A et B est $12$ unités, et la pente de la droite passant par A et B est $-4$. 2. **Formules utilisées** : - La pente $m$ entre deux points $A(x_1,y_1)$ et $B(x_2,y_2)$ est donnée par $$m=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ - La distance $d$ entre deux points est donnée par $$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ 3. **Application de la pente** : On sait que $m = -4$, donc $$-4 = \frac{y_2 - 4}{x_2 - 3} \Rightarrow y_2 - 4 = -4(x_2 - 3)$$ $$y_2 = -4x_2 + 12 + 4 = -4x_2 + 16$$ 4. **Application de la distance** : La distance est $12$, donc $$12 = \sqrt{(x_2 - 3)^2 + (y_2 - 4)^2}$$ En élevant au carré : $$144 = (x_2 - 3)^2 + (y_2 - 4)^2$$ Substituons $y_2$ : $$144 = (x_2 - 3)^2 + (-4x_2 + 16 - 4)^2 = (x_2 - 3)^2 + (-4x_2 + 12)^2$$ 5. **Développement** : $$(x_2 - 3)^2 = x_2^2 - 6x_2 + 9$$ $$(-4x_2 + 12)^2 = 16x_2^2 - 96x_2 + 144$$ Donc : $$144 = x_2^2 - 6x_2 + 9 + 16x_2^2 - 96x_2 + 144$$ $$144 = 17x_2^2 - 102x_2 + 153$$ 6. **Simplification** : Soustrayons 144 des deux côtés : $$0 = 17x_2^2 - 102x_2 + 9$$ 7. **Résolution de l'équation quadratique** : Utilisons la formule quadratique $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ avec $a=17$, $b=-102$, $c=9$ : $$\Delta = (-102)^2 - 4 \times 17 \times 9 = 10404 - 612 = 9792$$ $$\sqrt{9792} = \sqrt{16 \times 612} = 4 \sqrt{612} \approx 98.95$$ Donc : $$x_2 = \frac{102 \pm 98.95}{34}$$ 8. **Calcul des solutions** : - Première solution : $$x_2 = \frac{102 + 98.95}{34} = \frac{200.95}{34} \approx 5.91$$ - Deuxième solution : $$x_2 = \frac{102 - 98.95}{34} = \frac{3.05}{34} \approx 0.09$$ 9. **Calcul des $y_2$ correspondants** : Pour $x_2 \approx 5.91$ : $$y_2 = -4(5.91) + 16 = -23.64 + 16 = -7.64$$ Pour $x_2 \approx 0.09$ : $$y_2 = -4(0.09) + 16 = -0.36 + 16 = 15.64$$ 10. **Réponse finale** : Les coordonnées possibles de $B$ sont approximativement $$B_1(5.91, -7.64) \quad \text{ou} \quad B_2(0.09, 15.64)$$