1. O problema pede para calcular o comprimento da diagonal BD do retângulo ABCD, onde os pontos A = (0,0), B = (1,4) e C = (3,6) são vértices consecutivos. 2. Primeiro, lembre-se que em um retângulo, os lados adjacentes são perpendiculares e os lados opostos são paralelos e iguais. 3. Vamos encontrar o vetor AB e o vetor BC para confirmar que são perpendiculares e para determinar o ponto D. 4. O vetor AB = B - A = (1 - 0, 4 - 0) = (1, 4). 5. O vetor BC = C - B = (3 - 1, 6 - 4) = (2, 2). 6. Verificamos se AB e BC são perpendiculares calculando o produto escalar: $$1 \times 2 + 4 \times 2 = 2 + 8 = 10 \neq 0$$, então não são perpendiculares. Isso indica que os pontos dados não formam um retângulo com AB e BC como lados consecutivos. 7. Como o problema afirma que ABCD é um retângulo e A, B, C são vértices consecutivos, o lado adjacente a AB deve ser perpendicular a AB e passar por C. 8. O vetor perpendicular a AB é obtido trocando as coordenadas e invertendo o sinal de uma delas: se AB = (1,4), um vetor perpendicular é (-4,1). 9. Assim, o ponto D pode ser encontrado somando o vetor perpendicular a AB ao ponto C: $$D = C + (-4,1) = (3 - 4, 6 + 1) = (-1, 7).$$ 10. Agora, calculamos o comprimento da diagonal BD, onde B = (1,4) e D = (-1,7): $$BD = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (7 - 4)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}.$$ 11. Nenhuma das alternativas corresponde a $$\sqrt{13}$$, então vamos verificar se houve erro. 12. Outra forma é considerar que os lados do retângulo são AB e AD, com AD perpendicular a AB e passando por A. 13. O vetor AB é (1,4), então o vetor AD perpendicular a AB é (-4,1). 14. O ponto D é então $$D = A + AD = (0 - 4, 0 + 1) = (-4, 1).$$ 15. Calculamos BD com B = (1,4) e D = (-4,1): $$BD = \sqrt{(-4 - 1)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}.$$ 16. Ainda não corresponde a nenhuma alternativa. 17. Como o problema afirma que A, B, C são vértices consecutivos, e ABCD é retângulo, o lado CD deve ser paralelo a AB e o lado AD paralelo a BC. 18. Calculamos o vetor AD = BC = (2,2). 19. Assim, o ponto D = A + AD = (0 + 2, 0 + 2) = (2, 2). 20. Agora calculamos BD: $$BD = \sqrt{(2 - 1)^2 + (2 - 4)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}.$$ 21. Portanto, o comprimento da diagonal BD é $$\sqrt{5}$$. 22. A alternativa correta é d) $$\sqrt{5}$$.