1. Bài toán yêu cầu tính diện tích hình chữ nhật ABCD biết rằng $AI=\frac{2}{5}AB$ và diện tích tam giác BIOC là 279 cm$^2$. 2. Ta biết rằng trong hình chữ nhật, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm O, nên O là trung điểm của AC và BD. 3. Tam giác BIOC gồm các điểm B, I, O, C nằm trong hình chữ nhật. Ta sẽ dùng phương pháp so sánh diện tích dựa trên tỉ lệ đoạn thẳng $AI=\frac{2}{5}AB$. 4. Vì $AI=\frac{2}{5}AB$, nên đoạn $IB=AB - AI = AB - \frac{2}{5}AB = \frac{3}{5}AB$. 5. Diện tích tam giác BIOC có thể coi là tỉ lệ với tích các đoạn thẳng liên quan đến $AB$ và $BC$ (chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật). 6. Giả sử chiều dài $AB = x$ và chiều rộng $BC = y$, diện tích hình chữ nhật là $S_{ABCD} = x \times y$. 7. Diện tích tam giác BIOC bằng $\frac{2}{5} \times \frac{1}{2} x y = \frac{1}{5} x y$ (vì tam giác BIOC chiếm tỉ lệ $\frac{2}{5}$ trên chiều dài và một nửa chiều rộng do tam giác nằm trong hình chữ nhật). 8. Ta có $S_{BIOC} = 279$ cm$^2 = \frac{1}{5} x y$. 9. Suy ra $x y = 279 \times 5 = 1395$ cm$^2$. 10. Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD là $\boxed{1395}$ cm$^2$.