1. **Énoncé du problème** : Calculer la distance du point $A(1,2,0)$ au plan $(P)$ d'équation $x + y + z + 1 = 0$. 2. **Formule de la distance d'un point à un plan** : $$d(A,(P)) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$ avec $(a,b,c)$ le vecteur normal au plan et $d$ le terme constant. 3. **Calcul de la distance** : Le vecteur normal est $\vec{n} = (1,1,1)$ et $d=1$. Calculons le numérateur : $$|1 \times 1 + 1 \times 2 + 1 \times 0 + 1| = |1 + 2 + 0 + 1| = |4| = 4$$ Calculons le dénominateur : $$\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$ Donc : $$d(A,(P)) = \frac{4}{\sqrt{3}}$$ 4. **Représentation paramétrique de la droite $(D)$ passant par $A$ et orthogonale à $(P)$** : La droite $(D)$ a pour vecteur directeur le vecteur normal $\vec{n} = (1,1,1)$. Donc une représentation paramétrique est : $$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 0 + t \end{cases}$$ avec $t \in \mathbb{R}$. 5. **Coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $(P)$** : Le point $H$ est l'intersection de $(D)$ avec $(P)$. Substituons dans l'équation du plan : $$ (1 + t) + (2 + t) + (0 + t) + 1 = 0 $$ $$ 1 + t + 2 + t + t + 1 = 0 $$ $$ 4 + 3t = 0 $$ $$ 3t = -4 $$ $$ t = -\frac{4}{3} $$ Calculons $H$ : $$ x_H = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3} $$ $$ y_H = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3} $$ $$ z_H = 0 - \frac{4}{3} = -\frac{4}{3} $$ **Réponse finale** : - Distance $d(A,(P)) = \frac{4}{\sqrt{3}}$ - Droite $(D)$ paramétrée par $x=1+t$, $y=2+t$, $z=t$ - Projeté orthogonal $H\left(-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{4}{3}\right)$