1. Stwierdzenie problemu: Mamy trójkąt $\triangle ABC$ z bokami $|AB|=12$, $|AC|=10$ oraz kątem $|\angle ACB|=60^\circ$. Należy wyznaczyć długość boku $|BC|$. 2. Wzór: Skorzystamy z twierdzenia cosinusów, które mówi, że dla trójkąta z bokami $a$, $b$, $c$ i kątem $\gamma$ naprzeciwko boku $c$ zachodzi: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\gamma)$$ 3. Podstawiamy dane: $a = |AB| = 12$, $b = |AC| = 10$, $\gamma = |\angle ACB| = 60^\circ$, $c = |BC|$. 4. Obliczamy: $$c^2 = 12^2 + 10^2 - 2 \cdot 12 \cdot 10 \cdot \cos(60^\circ)$$ 5. Wartość cosinusa kąta 60 stopni to $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, więc: $$c^2 = 144 + 100 - 2 \cdot 12 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2}$$ 6. Upraszczamy: $$c^2 = 244 - 2 \cdot 12 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 244 - 12 \cdot 10 = 244 - 120 = 124$$ 7. Wyciągamy pierwiastek: $$c = \sqrt{124} = \sqrt{4 \cdot 31} = 2 \sqrt{31}$$ Odpowiedź: Długość boku $|BC|$ wynosi $2 \sqrt{31}$.