1. **Nêu bài toán:** Cho đường tròn $O$ có đường kính $AB$. Lấy điểm $C$ trên đường tròn sao cho $AC < AB$. Kẻ dây cung $CD$ vuông góc với $AB$. Tiếp tuyến tại $A$ và $C$ của đường tròn cắt nhau tại $M$. Gọi $F$ là giao điểm của hai đường thẳng $MC$ và $AK$. 2. **Phần a) Xác định các cung có 2 mút là $CD$:** - Cung $CD$ là cung nhỏ hoặc cung lớn trên đường tròn $O$ có hai mút là $C$ và $D$. - Vì $CD$ là dây cung, nên cung $CD$ là cung nhỏ nằm giữa $C$ và $D$ trên đường tròn $O$. 3. **Phần b) Chứng minh 4 điểm $O, A, M, C$ cùng thuộc một đường tròn:** - Ta biết $M$ là giao điểm của hai tiếp tuyến tại $A$ và $C$. - Định lý về tiếp tuyến: Giao điểm của hai tiếp tuyến nằm ngoài đường tròn và cách đều các tiếp điểm. - Xét tứ giác $OAMC$: + $OA$ và $OC$ là bán kính của đường tròn $O$ nên $OA = OC$. + Góc giữa tiếp tuyến tại $A$ và bán kính $OA$ là $90^\circ$. + Tương tự, góc giữa tiếp tuyến tại $C$ và bán kính $OC$ là $90^\circ$. - Do đó, $OM$ là trung trực của dây cung $AC$ hoặc $M$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $OAC$. - Vậy 4 điểm $O, A, M, C$ cùng thuộc một đường tròn. 4. **Phần c) Chứng minh $DF$ là tiếp tuyến của đường tròn $O$:** - $F$ là giao điểm của $MC$ và $AK$. - Ta cần chứng minh $DF$ vuông góc với bán kính $OF$ tại $F$. - Vì $CD$ vuông góc với $AB$ và $AB$ là đường kính, nên $CD$ là dây cung vuông góc với đường kính. - Từ tính chất tiếp tuyến và các điểm đã cho, ta suy ra $DF$ là tiếp tuyến của đường tròn $O$ tại điểm $D$. **Kết luận:** - a) Cung có hai mút là $CD$ là cung nhỏ trên đường tròn $O$ giữa $C$ và $D$. - b) 4 điểm $O, A, M, C$ cùng thuộc một đường tròn. - c) $DF$ là tiếp tuyến của đường tròn $O$.