1. مسئله: در مثلث قائم‌الزاویه $ABC$ با زاویه $A=90^\circ$، خط $l_1$ نیمساز داخلی زاویه $B$ و خط $l_2$ عمود منصف ضلع $BC$ هستند. باید تعداد نقاطی مانند $P$ روی محیط مثلث پیدا کنیم که فاصله آن‌ها از دو خط $l_1$ و $l_2$ برابر باشد. 2. تعریف‌ها و نکات مهم: - نیمساز زاویه خطی است که زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند. - عمود منصف ضلع خطی است که بر ضلع عمود است و آن را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند. - فاصله نقطه از خط برابر است با طول عمود رسم شده از نقطه بر خط. 3. تحلیل مسئله: - چون $A=90^\circ$، مثلث قائم‌الزاویه است. - خط $l_1$ نیمساز زاویه $B$ است. - خط $l_2$ عمود منصف ضلع $BC$ است. - می‌خواهیم نقاط $P$ روی محیط مثلث داشته باشیم که فاصله‌شان از $l_1$ و $l_2$ برابر باشد. 4. روش حل: - فاصله نقطه از دو خط برابر است یعنی نقطه روی محور تقارن بین دو خط است. - محور تقارن بین دو خط $l_1$ و $l_2$ خطی است که فاصله نقطه از هر دو خط برابر باشد. - این محور تقارن یا خط میانه بین دو خط است. 5. بررسی نقاط روی محیط مثلث: - محیط مثلث شامل سه ضلع $AB$, $BC$, و $AC$ است. - نقاطی که فاصله‌شان از $l_1$ و $l_2$ برابر باشد روی محیط و روی محور تقارن بین $l_1$ و $l_2$ قرار دارند. 6. نتیجه‌گیری: - محور تقارن بین $l_1$ و $l_2$ با محیط مثلث در چند نقطه تقاطع دارد. - چون مثلث محدود است و محور تقارن دو خط ممکن است تا دو بار با محیط تقاطع داشته باشد، تعداد نقاط $P$ برابر با تعداد تقاطع‌های محور تقارن با محیط مثلث است. 7. پاسخ نهایی: - تعداد نقاط $P$ روی محیط مثلث که فاصله‌شان از $l_1$ و $l_2$ برابر باشد، برابر با 2 است.