1. **Énoncé du problème :** Trouver l'équation d'une ellipse centrée à l'origine dont un foyer est au point $\left(0, \sqrt{7}\right)$ et la distance entre deux points de l'ellipse situés sur une perpendiculaire à ce foyer est 25. 2. **Rappel des formules importantes :** L'équation standard d'une ellipse centrée à l'origine est $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$ avec $a$ le demi-grand axe, $b$ le demi-petit axe, et $c$ la distance du centre aux foyers. On a la relation entre ces valeurs : $$b^2 = a^2 - c^2$$ 3. **Données du problème :** - Foyer en $\left(0, \sqrt{7}\right)$ donc $c = \sqrt{7}$. - La distance entre deux points de l'ellipse sur une perpendiculaire passant par ce foyer est 25. Cette distance correspond à la longueur du segment perpendiculaire à l'axe majeur passant par le foyer, donc c'est la longueur de la corde verticale à $x = 0$. 4. **Interprétation de la distance 25 :** Sur l'axe $x=0$, l'équation de l'ellipse devient $$\frac{0^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \implies \frac{y^2}{b^2} = 1 \implies y = \pm b$$ La distance entre ces deux points est donc $2b$. On a donc $$2b = 25 \implies b = \frac{25}{2} = 12.5$$ 5. **Calcul de $a^2$ :** On connaît $b = 12.5$ et $c = \sqrt{7}$, donc $$b^2 = a^2 - c^2 \implies a^2 = b^2 + c^2 = 12.5^2 + (\sqrt{7})^2 = 156.25 + 7 = 163.25$$ 6. **Équation finale de l'ellipse :** $$\frac{x^2}{163.25} + \frac{y^2}{156.25} = 1$$ **Réponse finale :** L'équation de l'ellipse est $$\boxed{\frac{x^2}{163.25} + \frac{y^2}{156.25} = 1}$$