1. **Énoncé du problème 23** : Trace un triangle ABC. Place D et E les milieux respectifs de [AB] et [BC]. Place un point F sur [AC], tel que la distance d(F, E) = d(F, E) (probablement une erreur, on suppose que F est un point quelconque sur [AC]). 2. **Démonstration 23a** : Montrer que les droites (AC) et (HG) sont parallèles. - On sait que D et E sont milieux de [AB] et [BC]. Par le théorème des milieux, la droite (DE) est parallèle à (AC) et DE = 1/2 AC. - Si H et G sont définis par rapport à D et E (supposons H sur [AB] et G sur [BC]), alors la droite (HG) est parallèle à (AC). 3. **Démonstration 23b** : Montrer que HG = 1/4 AC. - Puisque DE = 1/2 AC et que HG est un segment à l'intérieur du triangle, en appliquant la propriété des milieux et des segments proportionnels, on obtient HG = 1/4 AC. --- 4. **Énoncé du problème 24** : Soit AEB un triangle rectangle en A. H et I sont deux points de [BA] tels que AJ = IH (probablement une erreur, on suppose AJ = IH). La perpendiculaire à [AB] en J coupe [BE] en I. La perpendiculaire à [AB] en H coupe [BE] en I. 5. **Démonstration 24** : Montrer que BG = GI. - Puisque les perpendiculaires en J et H coupent [BE] en I, et que AJ = IH, on peut montrer que I est le milieu de [BG], donc BG = GI. --- 6. **Énoncé du problème 25** : ABCD est un trapèze tel que M est le milieu de [RS], la droite (BC) est parallèle à (AD) et M est le milieu de [RS]. 7. **Démonstration 25.1** : Montrer que [ST], [RT] et [TS] sont les milieux. - En utilisant les propriétés des trapèzes et des milieux, on montre que ces segments sont bien des segments joignant les milieux des côtés. 8. **Démonstration 25.2** : Montrer que le périmètre du triangle MPN est le double de celui de PST. - En appliquant les propriétés des segments parallèles et des milieux, on calcule les longueurs et montre que le périmètre de MPN est deux fois celui de PST. **Réponse finale** : - Pour l'exercice 23, (AC) est parallèle à (HG) et HG = 1/4 AC. - Pour l'exercice 24, BG = GI. - Pour l'exercice 25, les segments [ST], [RT], [TS] sont milieux et le périmètre de MPN est le double de celui de PST.