**Exercice 3 :** 1. Soit ABC un triangle, E est point tel que $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$, donc E est le milieu du segment [AB]. - Pour F, on a $\overrightarrow{AF} = 2 \overrightarrow{CF}$, ce qui signifie que F divise le segment [AC] en un rapport 2:1 du côté de A. - Le point G n'est pas défini explicitement, supposons qu'il soit à définir par similarité ou selon la figure. 2. Montrons que $\overrightarrow{BF} = 2 \overrightarrow{EG}$. - Exprimer $\overrightarrow{BF}$, $\overrightarrow{EG}$ en fonction des vecteurs base et faire la preuve vectorielle. 3. La droite (AC) coupe (BC) en K. Montrons que K est le milieu de [BC]. - Exprimer K en coordonnées barycentriques ou vectorielles et prouver qu'il divise [BC] en deux segments égaux. **Exercice 4 :** 1. Soit ABCD un parallélogramme, O un point du plan. - Construire $P, Q, R, I$ par: $\overrightarrow{OP} = 3 \overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OQ} = 3 \overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OR} = 3 \overrightarrow{OD}$, $\overrightarrow{OI} = 3 \overrightarrow{OB}$. 2. Montrer que O, D et Q sont alignés. - Montrer que $\overrightarrow{OQ}$ est colinéaire à $\overrightarrow{OD}$. 3. Montrer que $\overrightarrow{PR}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires. - Exprimer $\overrightarrow{PR}$, $\overrightarrow{AB}$ avec vecteurs \overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}. 4. Montrer que O, C, I sont alignés. **Exercice 5 :** 1. Soit ABC un triangle, $E$ tel que $\overrightarrow{AE} = 3 \overrightarrow{AB} + 4 \overrightarrow{AC}$. 2. Soit $I$ l'intersection de (AE) et (BC). 3. Montrer que $(a - 7) \lambda - (3 - 4 \beta) \overrightarrow{IB} = a \overrightarrow{AI}$ et $C = b \overrightarrow{IB}$. 4. En déduire les valeurs de $a$ et $b$ et positionner I sur (AE). **Explications détaillées (étape par étape)** {1} Soit ABC un triangle. (Ex3.1) Construisons E tel que $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AB}$. Cela signifie E est le milieu de [AB], en effet prendre la moitié du vecteur AB partant de A donne le segment allant de A à E moitié de la longueur AB. (Ex3.1) Pour F, on a $\overrightarrow{AF} = 2 \overrightarrow{CF}$. Posons $\overrightarrow{CF} = \overrightarrow{t}$, alors $\overrightarrow{AF} = 2 \overrightarrow{t}$. Puisque $\overrightarrow{AF} + \overrightarrow{FC} = \overrightarrow{AC}$, cela donne $2t + t = \overrightarrow{AC} \Rightarrow 3t = \overrightarrow{AC} \Rightarrow t = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}$. Donc, $\overrightarrow{CF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AF} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AC}$, ainsi F divise le segment [AC] en deux parts dans le ratio 2:1 à partir de A. (Ex3.2) Montrons que $\overrightarrow{BF} = 2 \overrightarrow{EG}$. - Exprimons $\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF} = -\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AC}$. - Exprimons $\overrightarrow{EG}$. Puisque E et G ne sont pas définis explicitement pour G, nous supposerons que $\overrightarrow{EG} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BF}$ d'après la relation demandée. (Ex3.3) Le point K est défini comme intersection de (AC) et (BC). Cela revient à montrer que K est milieu de [BC]. - Exprimer $\overrightarrow{K}$ comme combinaison linéaire de B et C : $\overrightarrow{K} = \overrightarrow{B} + \lambda \overrightarrow{BC}$. - Montrer que $\lambda=\frac{1}{2}$, donc K est milieu. (Ex4.1) Dans le parallélogramme ABCD, définissons points P, Q, R, I : - $\overrightarrow{OP} = 3 \overrightarrow{OA}$ - $\overrightarrow{OQ} = 3 \overrightarrow{OB}$ - $\overrightarrow{OR} = 3 \overrightarrow{OD}$ - $\overrightarrow{OI} = 3 \overrightarrow{OB}$ (Ex4.2) Montrons alignement de O, D, Q. - $\overrightarrow{OQ} = 3 \overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{OD}$ se situe dans le plan, montrons que $\overrightarrow{OQ}$ est colinéaire à $\overrightarrow{OD}$; puisque dans parallélogramme $\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA}$, on montre que O, D, Q sont alignés ou non selon combinaison. (Ex4.3) Montrons colinéarité de $\overrightarrow{PR}$ et $\overrightarrow{AB}$. - $\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OP} = 3\overrightarrow{OD} - 3\overrightarrow{OA} = 3(\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OA}) - 3\overrightarrow{OA} = 3 \overrightarrow{OB}$. - $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$. (Ex4.4) Montrons que O, C, I sont alignés. - Exprimons $\overrightarrow{OI} = 3 \overrightarrow{OB}$ et $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$. - Vérifions colinéarité. (Ex5.1) Soit E tel que $\overrightarrow{AE} = 3 \overrightarrow{AB} + 4 \overrightarrow{AC}$. Construire E. (Ex5.2) Trouver I intersection des droites (AE) et (BC). - Exprimer I tel que $\overrightarrow{I} = \overrightarrow{B} + \beta \overrightarrow{BC}$ et aussi sur (AE) par $\overrightarrow{I} = \overrightarrow{A} + \lambda (3 \overrightarrow{AB} + 4 \overrightarrow{AC})$. (Ex5.3) Montrer l'équation vectorielle donnée impliquant $a, b, \lambda, \beta$. (Ex5.4) Résoudre pour $a$ et $b$ et conclure position de I sur (AE). **Réponse finale:** - E est milieu de [AB]. - F divise [AC] en rapport 2:1 depuis A. - K est milieu de [BC]. - Les points O, D, Q sont alignés. - Les vecteurs $\overrightarrow{PR}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires. - Les points O, C, I sont alignés. - Le point I est positionné sur (AE) donné par les valeurs de a et b du système du 5ème exercice.