1. مسئله: خروج از مرکز یک بیضی برابر $\frac{\sqrt{7}}{2}$ و طول قطر کوچک آن 10 است. فاصله کانونی بیضی را بیابید. 2. فرمول‌ها و تعاریف مهم: - خروج از مرکز بیضی با $e$ نشان داده می‌شود و تعریف آن $e=\frac{c}{a}$ است که در آن $c$ فاصله کانونی و $a$ نیم‌قطر بزرگ است. - طول قطر کوچک برابر $2b$ است که $b$ نیم‌قطر کوچک است. - رابطه بین $a$، $b$ و $c$ در بیضی: $$c^2 = a^2 - b^2$$ 3. داده‌ها: - $e = \frac{\sqrt{7}}{2}$ - $2b = 10 \Rightarrow b = 5$ 4. از تعریف خروج از مرکز داریم: $$e = \frac{c}{a} \Rightarrow c = ea = \frac{\sqrt{7}}{2} a$$ 5. رابطه $c^2 = a^2 - b^2$ را جایگزین می‌کنیم: $$\left(\frac{\sqrt{7}}{2} a\right)^2 = a^2 - 5^2$$ 6. ساده‌سازی: $$\frac{7}{4} a^2 = a^2 - 25$$ 7. انتقال همه جملات به یک طرف: $$\frac{7}{4} a^2 - a^2 = -25$$ 8. تبدیل به کسر مشترک: $$\frac{7}{4} a^2 - \frac{4}{4} a^2 = -25$$ 9. محاسبه تفاضل: $$\frac{3}{4} a^2 = -25$$ 10. ضرب طرفین در 4/3: $$a^2 = -25 \times \frac{4}{3} = -\frac{100}{3}$$ 11. مشاهده می‌کنیم که $a^2$ منفی شده که غیرممکن است. بنابراین باید بررسی کنیم که آیا $a$ نیم‌قطر بزرگ است یا کوچک. 12. چون $b=5$ و $a$ باید بزرگ‌تر از $b$ باشد، پس $a > 5$. 13. بازنویسی مرحله 6 به صورت: $$\frac{7}{4} a^2 = a^2 - 25 \Rightarrow a^2 - \frac{7}{4} a^2 = 25$$ 14. محاسبه تفاضل: $$\left(1 - \frac{7}{4}\right) a^2 = 25 \Rightarrow \left(\frac{4}{4} - \frac{7}{4}\right) a^2 = 25$$ 15. ساده‌سازی: $$-\frac{3}{4} a^2 = 25$$ 16. ضرب طرفین در $-\frac{4}{3}$: $$a^2 = 25 \times -\frac{4}{3} = -\frac{100}{3}$$ 17. باز هم منفی است، پس باید فرض کنیم $a$ نیم‌قطر کوچک و $b$ نیم‌قطر بزرگ است. 18. اگر $a$ نیم‌قطر کوچک باشد، $a = 5$ و $b$ نیم‌قطر بزرگ است. 19. رابطه $c^2 = b^2 - a^2$ برای بیضی با نیم‌قطر بزرگ $b$ و کوچک $a$: $$c^2 = b^2 - a^2$$ 20. خروج از مرکز: $$e = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{7}}{2}$$ 21. از اینجا: $$c = e b = \frac{\sqrt{7}}{2} b$$ 22. جایگذاری در رابطه $c^2 = b^2 - a^2$: $$\left(\frac{\sqrt{7}}{2} b\right)^2 = b^2 - 5^2$$ 23. ساده‌سازی: $$\frac{7}{4} b^2 = b^2 - 25$$ 24. انتقال جملات: $$\frac{7}{4} b^2 - b^2 = -25$$ 25. تبدیل به کسر مشترک: $$\frac{7}{4} b^2 - \frac{4}{4} b^2 = -25$$ 26. محاسبه تفاضل: $$\frac{3}{4} b^2 = -25$$ 27. ضرب طرفین در $\frac{4}{3}$: $$b^2 = -\frac{100}{3}$$ 28. باز هم منفی است، پس باید بررسی کنیم که آیا داده‌ها درست تفسیر شده‌اند یا خیر. 29. در بیضی، نیم‌قطر بزرگ $a$ و نیم‌قطر کوچک $b$ است و $a > b$. 30. داده‌ها: - خروج از مرکز $e = \frac{\sqrt{7}}{2} \approx 1.322$ که بزرگ‌تر از 1 است. 31. خروج از مرکز بیضی باید بین 0 و 1 باشد، پس $e=\frac{\sqrt{7}}{2}$ اشتباه است یا مربوط به بیضی نیست. 32. نتیجه: خروج از مرکز نمی‌تواند بزرگ‌تر از 1 باشد، پس داده‌ها ناسازگار است. 33. اگر خروج از مرکز را $e = \frac{\sqrt{7}}{2}$ فرض کنیم، این مقدار بزرگ‌تر از 1 است و بیضی تعریف نمی‌شود. 34. بنابراین پاسخ: داده‌ها ناسازگار است و فاصله کانونی تعریف‌پذیر نیست.