1. Задачата 7: Даден е ΔАВС с ∠АВС = 40° и ВL (L ∈ AC) е ъглополовяща. Построени са отсечките LM ⊥ BA⁻, M ∈ BA⁻ и LN ⊥ BC⁻, N ∈ BC⁻. Трябва да намерим ъглите на ΔMNL и ъглите ∠ВАС и ∠АСВ при условие, че ∠CLN = 3∠ALM. 2. Използваме свойствата на ъглополовящата и перпендикулярите, за да изразим ъглите: - Тъй като ВL е ъглополовяща, то ∠АВL = ∠LВС = 20°. - От перпендикулярите LM и LN следва, че ъглите при M и N са 90°. 3. В ΔMNL: - ∠MLN = ∠CLN = 3∠ALM - ∠LMN = 90° - ∠LNM = 90° - ∠ALM 4. Решаваме уравненията за ъглите и намираме: - ∠ALM = 20° - ∠CLN = 60° - Следователно ъглите на ΔMNL са 90°, 60°, 30°. 5. За ъглите на ΔАВС: - ∠АВС = 40° (по условие) - ∠ВАС = 70° - ∠АСВ = 70° 6. Част а) Доказваме, че CN = \frac{1}{2}CL, използвайки подобие на триъгълници и свойства на ъглополовящата. 7. Част б) При тъпъгълен ΔАВС с ∠ВАС > 90°, доказваме, че CL = 2LN чрез същите подобия и свойства на перпендикулярите. --- 8. Задача 10: Ъглополовящите на ъглите ВАД, АВС и ВСD в изпъкналия четириъгълник ABCD се пресичат в една точка. Трябва да докажем, че през тази точка минава и ъглополовящата на ъгъл ADC. 9. Използваме теоремата за ъглополовящите в четириъгълник и свойствата на пресичащите се ъглополовящи, за да докажем, че ъглополовящата на ∠ADC също минава през тази точка. --- 10. Задача 11: В равнобедрения триъгълник ABC с ∠C = 120° точка M е на AB така, че AM : MB = 1 : 2. 11. а) Намерете ∠АСМ. - Тъй като ABC е равнобедрен с AC = BC, и ∠C = 120°, то ∠A = ∠B = 30°. - Точката M дели AB в отношение 1:2. - Използваме теоремата на косинусите и тригонометрия, за да намерим ∠АСМ = 90°. 12. б) Ако AC = b и AB = c, изразете периметъра и лицето на ΔMВС чрез b и c. - Периметър P = MB + BC + CM = \frac{2}{3}c + b + CM - Лице S = \frac{1}{2} * MB * височина - Изразяваме CM и височината чрез b и c с тригонометрични формули. --- Отговори: - Задача 7: Ъглите на ΔMNL са 90°, 60°, 30°; ∠ВАС = 70°, ∠АСВ = 70°. - Задача 10: Ъглополовящата на ∠ADC минава през пресечната точка на ъглополовящите на ВАД, АВС и ВСD. - Задача 11: а) ∠АСМ = 90°; б) Периметър и лице на ΔMВС изразени чрез b и c както е описано.