1. Bài toán yêu cầu tìm tham số $m$ sao cho góc $\angle ABC = 45^\circ$ với ba điểm $A=(0,-4)$, $B=(1,3)$, $C=(2,m)$.\n\n2. Ta sẽ sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$ tại điểm $B$.\n\n3. Tính vectơ:\n$$\overrightarrow{BA} = A - B = (0-1, -4-3) = (-1, -7)$$\n$$\overrightarrow{BC} = C - B = (2-1, m-3) = (1, m-3)$$\n\n4. Công thức tính góc $\theta$ giữa hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ là:\n$$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$$\n\n5. Áp dụng cho $\theta = 45^\circ$, ta có:\n$$\cos 45^\circ = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| |\overrightarrow{BC}|}$$\n\n6. Tính tích vô hướng:\n$$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-1)(1) + (-7)(m-3) = -1 -7m + 21 = 20 - 7m$$\n\n7. Tính độ dài các vectơ:\n$$|\overrightarrow{BA}| = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$\n$$|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{1^2 + (m-3)^2} = \sqrt{1 + (m-3)^2}$$\n\n8. Thay vào công thức cos:\n$$\cos 45^\circ = \frac{20 - 7m}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{1 + (m-3)^2}}$$\n\n9. Biết $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, ta có phương trình:\n$$\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{20 - 7m}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{1 + (m-3)^2}}$$\n\n10. Nhân chéo và rút gọn:\n$$\frac{\sqrt{2}}{2} \times 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{1 + (m-3)^2} = 20 - 7m$$\n$$5 \times \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{1 + (m-3)^2} = 20 - 7m$$\n$$5 \times \frac{2}{2} \cdot \sqrt{1 + (m-3)^2} = 20 - 7m$$\n$$5 \sqrt{1 + (m-3)^2} = 20 - 7m$$\n\n11. Bình phương hai vế:\n$$25 (1 + (m-3)^2) = (20 - 7m)^2$$\n$$25 (1 + m^2 - 6m + 9) = 400 - 280m + 49m^2$$\n$$25 (m^2 - 6m + 10) = 400 - 280m + 49m^2$$\n$$25m^2 - 150m + 250 = 400 - 280m + 49m^2$$\n\n12. Chuyển hết về một vế:\n$$25m^2 - 150m + 250 - 400 + 280m - 49m^2 = 0$$\n$$-24m^2 + 130m - 150 = 0$$\n\n13. Nhân cả hai vế với $-1$ để thuận tiện:\n$$24m^2 - 130m + 150 = 0$$\n\n14. Chia cả hai vế cho 2:\n$$12m^2 - 65m + 75 = 0$$\n\n15. Vậy phương trình tham số $m$ thỏa mãn là:\n$$\boxed{12m^2 - 65m + 75 = 0}$$\n\n16. Đáp án đúng là phương án D.