1. **Zadanie 1: Oblicz pole całkowite oraz objętość prostopadłościanu o wymiarach 4 x 5 x 6.** Formuły: - Objętość: $$V = a \times b \times c$$ - Pole całkowite: $$P_c = 2(ab + bc + ca)$$ Obliczenia: $$V = 4 \times 5 \times 6 = 120$$ $$P_c = 2(4 \times 5 + 5 \times 6 + 6 \times 4) = 2(20 + 30 + 24) = 2 \times 74 = 148$$ Odpowiedź: Objętość wynosi 120, a pole całkowite 148. 2. **Zadanie 2: Oblicz objętość, pole całkowite oraz długość przekątnej sześcianu, którego suma wszystkich krawędzi jest równa 36.** Formuły: - Suma krawędzi sześcianu: $$12a = 36$$ - Objętość: $$V = a^3$$ - Pole całkowite: $$P_c = 6a^2$$ - Długość przekątnej sześcianu: $$d = a\sqrt{3}$$ Obliczenia: $$12a = 36 \Rightarrow a = \frac{36}{12} = 3$$ $$V = 3^3 = 27$$ $$P_c = 6 \times 3^2 = 6 \times 9 = 54$$ $$d = 3\sqrt{3}$$ Odpowiedź: Objętość 27, pole całkowite 54, długość przekątnej $3\sqrt{3}$. 3. **Zadanie 3: W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna podstawy AC ma długość $6\sqrt{2}$, kąt ASC ma miarę 60°. Oblicz objętość ostrosłupa.** Formuły: - Pole podstawy: $$P_p = a^2$$ - Objętość: $$V = \frac{1}{3} P_p h$$ Obliczenia: $$P_p = (6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72$$ Kąt ASC = 60° to kąt między wysokością ostrosłupa a przekątną podstawy. Wysokość $h$ obliczamy z trójkąta prostokątnego: $$h = AC \times \sin 60^\circ = 6\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{6}$$ Objętość: $$V = \frac{1}{3} \times 72 \times 3\sqrt{6} = 24 \times 3\sqrt{6} = 72\sqrt{6}$$ Odpowiedź: Objętość ostrosłupa wynosi $72\sqrt{6}$. 4. **Zadanie 4: Która długość jest największa: x, y, z?** Dane: $$x^2 + 3^2 = z^2$$ $$16 + 9 = z^2$$ $$z^2 = 25 \Rightarrow z = 5$$ $$5^2 - 3^2 = x^2$$ $$25 - 9 = x^2$$ $$x^2 = 16 \Rightarrow x = 4$$ $$d^2 + 5^2 = y^2$$ $$16 + 25 = y^2$$ $$y^2 = 41 \Rightarrow y = \sqrt{41} \approx 6.4$$ Porównanie: $$x = 4, z = 5, y \approx 6.4$$ Odpowiedź: Największa jest długość $y$. 5. **Zadanie 5: Pole podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 200 cm², a pole powierzchni bocznej 240 cm². Oblicz objętość graniastosłupa.** Formuły: - Pole powierzchni bocznej: $$P_b = obwód_{podstawy} \times h$$ - Objętość: $$V = P_0 \times h$$ Obliczenia: Obwód podstawy to 4 razy bok, ale nie jest podany bok, więc korzystamy z wzoru na wysokość: $$h = \frac{P_b}{obwód_{podstawy}} = \frac{240}{4} = 60$$ Objętość: $$V = 200 \times 60 = 12000$$ Odpowiedź: Objętość wynosi 12000 cm³. 6. **Zadanie 6: Dokończ zdanie.** **a)** W graniastosłupie jest 18 wierzchołków. - Liczba ścian bocznych: 8 - Wielokąt w podstawie: ośmiokąt - Liczba wszystkich krawędzi: 27 **b)** W ostrosłupie jest 19 wierzchołków. - Liczba ścian bocznych: 18 - Wielokąt w podstawie: 18-kąt - Liczba wszystkich krawędzi: 36