1. সমস্যাটি হলো: একটি সুষম ষড়ভুজের কেন্দ্র থেকে শীর্ষবিন্দুগুলোর কেন্দ্রস্থ কোণের মান নির্ণয় এবং ক্ষেত্রফল বের করা। 2. সুষম ষড়ভুজের প্রতিটি কেন্দ্রস্থ কোণের মান নির্ণয়ের সূত্র হলো: $$\text{কেন্দ্রস্থ কোণ} = \frac{360^\circ}{n}$$ যেখানে $n$ হলো শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা। 3. ষড়ভুজের ক্ষেত্রে, $n=6$, তাই $$\text{কেন্দ্রস্থ কোণ} = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$$ 4. অর্থাৎ, প্রতিটি কেন্দ্রস্থ কোণ $60^\circ$। 5. এখন ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে। সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল সূত্র: $$A = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$$ যেখানে $a$ হলো ষড়ভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য। 6. যদি কেন্দ্র থেকে শীর্ষবিন্দুর দূরত্ব $e$ মিটার হয়, তাহলে বাহুর দৈর্ঘ্য $a$ হবে: $$a = e$$ কারণ সুষম ষড়ভুজের কেন্দ্র থেকে শীর্ষবিন্দুর দূরত্ব বাহুর দৈর্ঘ্যের সমান। 7. তাই ক্ষেত্রফল হবে: $$A = \frac{3\sqrt{3}}{2} e^2$$ 8. প্রশ্ন ৬: 5:8::y:32 হলে $y$ এর মান নির্ণয়। প্রতিসমতা সূত্র: $$\frac{5}{8} = \frac{y}{32}$$ 9. উভয় পাশে গুণ করলে: $$5 \times 32 = 8 \times y$$ $$160 = 8y$$ 10. উভয় পাশে 8 দিয়ে ভাগ করলে: $$\cancel{8}y = \frac{160}{\cancel{8}}$$ $$y = 20$$ 11. প্রশ্ন ১৪: 3% মুনাফায় 10,000 টাকা 3 বছরের জন্য বিনিয়োগ করলে চক্রবৃদ্ধি মুনাফা কত? চক্রবৃদ্ধি সুদের সূত্র: $$A = P \left(1 + \frac{r}{100}\right)^t$$ যেখানে $P=10000$, $r=3$, $t=3$। 12. হিসাব: $$A = 10000 \left(1 + \frac{3}{100}\right)^3 = 10000 \times (1.03)^3$$ $$= 10000 \times 1.092727 = 10927.27$$ 13. মুনাফা হবে: $$10927.27 - 10000 = 927.27$$ 14. প্রশ্ন ১৭: ছাত্র ও ছাত্রীর অনুপাত 10:7, ছাত্রীর সংখ্যা ছাত্র সংখ্যার অর্ধেকের চেয়ে ৪ জন বেশি। মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা কত? ধরা যাক ছাত্র সংখ্যা = $10x$, ছাত্রীর সংখ্যা = $7x$ শর্ত অনুযায়ী: $$7x = \frac{10x}{2} + 4$$ $$7x = 5x + 4$$ $$7x - 5x = 4$$ $$2x = 4$$ $$x = 2$$ 15. মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা: $$10x + 7x = 17x = 17 \times 2 = 34$$ 16. প্রশ্ন ২৯: দুই সংখ্যার অনুপাত 2:3 এবং তাদের ল.সা.গু. 54 হলে তাদের গ.সা.গু. কত? ধরা যাক দুই সংখ্যা $2k$ এবং $3k$ তাদের ল.সা.গু. = $6k$ দেওয়া আছে: $$6k = 54$$ $$k = 9$$ তাহলে গ.সা.গু. = $k = 9$