1. مسئله: در مثلث ABC که زاویه Â برابر 90 درجه است، دایره‌ای داخلی بر اضلاع مثلث مماس است. طول BN برابر 1 و CN برابر 4 است. باید شعاع دایره محاطی داخلی را پیدا کنیم. 2. فرمول‌ها و نکات مهم: - در مثلث قائم‌الزاویه، ضلع مقابل زاویه 90 درجه وتر است. - شعاع دایره محاطی داخلی مثلث با فرمول $$r=\frac{A}{s}$$ محاسبه می‌شود که در آن $$A$$ مساحت مثلث و $$s$$ نیم‌محیط مثلث است. - نیم‌محیط $$s=\frac{a+b+c}{2}$$ است که $$a,b,c$$ اضلاع مثلث هستند. 3. محاسبه اضلاع مثلث: - چون زاویه Â=90° است، ضلع BC وتر است. - طول BC برابر $$BN+CN=1+4=5$$. - برای یافتن اضلاع دیگر، از قضیه فیثاغورس استفاده می‌کنیم. 4. محاسبه طول‌های AB و AC: - فرض کنیم AB = x و AC = y. - طبق قضیه فیثاغورس: $$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$$. 5. استفاده از خاصیت مماس بودن دایره محاطی: - نقاط تماس دایره محاطی با اضلاع مثلث، طول‌های بخش‌های اضلاع را به صورت زیر تقسیم می‌کند: - اگر شعاع دایره محاطی $$r$$ باشد، طول بخش‌های مماس از هر رأس برابر با $$s - a$$، $$s - b$$ و $$s - c$$ است. - در اینجا، طول BN و CN به ترتیب برابر با $$s - b$$ و $$s - c$$ هستند. 6. محاسبه نیم‌محیط $$s$$: - از داده‌ها: $$BN = s - b = 1$$ و $$CN = s - c = 4$$. - جمع این دو: $$1 + 4 = (s - b) + (s - c) = 2s - (b + c)$$. - اما $$b + c = AB + AC = x + y$$. - همچنین $$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{5 + x + y}{2}$$. 7. حل معادلات: - از رابطه $$1 + 4 = 2s - (x + y)$$ داریم: $$5 = 2s - (x + y)$$ - جایگذاری $$s = \frac{5 + x + y}{2}$$: $$5 = 2 \times \frac{5 + x + y}{2} - (x + y) = (5 + x + y) - (x + y) = 5$$ - این معادله همیشه برقرار است و اطلاعات بیشتری نمی‌دهد. 8. محاسبه مساحت مثلث: - مساحت مثلث قائم‌الزاویه برابر است با: $$A = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} x y$$. 9. محاسبه شعاع دایره محاطی: - شعاع دایره محاطی: $$r = \frac{A}{s} = \frac{\frac{1}{2} x y}{\frac{5 + x + y}{2}} = \frac{x y}{5 + x + y}$$. 10. یافتن مقادیر x و y: - از قضیه فیثاغورس: $$x^2 + y^2 = 25$$. - همچنین از رابطه طول مماس‌ها: $$s - b = 1 \Rightarrow \frac{5 + x + y}{2} - x = 1 \Rightarrow 5 + x + y - 2x = 2 \Rightarrow 5 - x + y = 2 \Rightarrow y = x - 3$$. 11. جایگذاری در معادله فیثاغورس: $$x^2 + (x - 3)^2 = 25$$ $$x^2 + x^2 - 6x + 9 = 25$$ $$2x^2 - 6x + 9 = 25$$ $$2x^2 - 6x - 16 = 0$$ 12. حل معادله درجه دو: $$x^2 - 3x - 8 = 0$$ 13. استفاده از فرمول حل معادله درجه دو: $$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 32}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{41}}{2}$$ 14. انتخاب مقدار مثبت و محاسبه y: - انتخاب $$x = \frac{3 + \sqrt{41}}{2}$$ (چون طول باید مثبت باشد) - سپس: $$y = x - 3 = \frac{3 + \sqrt{41}}{2} - 3 = \frac{3 + \sqrt{41} - 6}{2} = \frac{\sqrt{41} - 3}{2}$$ 15. محاسبه شعاع دایره محاطی: $$r = \frac{x y}{5 + x + y}$$ - محاسبه مخرج: $$5 + x + y = 5 + \frac{3 + \sqrt{41}}{2} + \frac{\sqrt{41} - 3}{2} = 5 + \frac{3 + \sqrt{41} + \sqrt{41} - 3}{2} = 5 + \frac{2 \sqrt{41}}{2} = 5 + \sqrt{41}$$ - محاسبه صورت: $$x y = \frac{3 + \sqrt{41}}{2} \times \frac{\sqrt{41} - 3}{2} = \frac{(3 + \sqrt{41})(\sqrt{41} - 3)}{4}$$ - ضرب دو جمله‌ای: $$(3)(\sqrt{41}) - 3 \times 3 + \sqrt{41} \times \sqrt{41} - 3 \times \sqrt{41} = 3\sqrt{41} - 9 + 41 - 3\sqrt{41} = 41 - 9 = 32$$ - پس: $$x y = \frac{32}{4} = 8$$ 16. نهایتاً: $$r = \frac{8}{5 + \sqrt{41}}$$ - برای ساده‌سازی مخرج را راسی می‌کنیم: $$r = \frac{8}{5 + \sqrt{41}} \times \frac{5 - \sqrt{41}}{5 - \sqrt{41}} = \frac{8(5 - \sqrt{41})}{25 - 41} = \frac{8(5 - \sqrt{41})}{-16} = -\frac{8(5 - \sqrt{41})}{16} = -\frac{(5 - \sqrt{41})}{2} = \frac{\sqrt{41} - 5}{2}$$ 17. پاسخ نهایی: شعاع دایره محاطی داخلی برابر است با $$\boxed{\frac{\sqrt{41} - 5}{2}}$$ که گزینه (4) است.