1. مسئله: در مثلث $ABC$ که $AB=AC$ و زاویه $\hat{A}=80^\circ$ است، نقطه $D$ داخل مثلث قرار دارد به طوری که $\hat{D}\hat{B}C=10^\circ$ و $\hat{D}\hat{C}B=30^\circ$. باید ثابت کنیم مثلث $ADB$ متساوی الساقین است. 2. ابتدا زاویه‌های مثلث $ABC$ را محاسبه می‌کنیم. چون $AB=AC$ مثلث متساوی الساقین است و دو زاویه قاعده برابرند: $$\hat{B} = \hat{C} = \frac{180^\circ - 80^\circ}{2} = 50^\circ$$ 3. حال به مثلث $BDC$ توجه می‌کنیم. زاویه‌های آن عبارتند از: - $\hat{D}\hat{B}C = 10^\circ$ - $\hat{D}\hat{C}B = 30^\circ$ زاویه سوم مثلث $BDC$ برابر است با: $$\hat{B}DC = 180^\circ - 10^\circ - 30^\circ = 140^\circ$$ 4. اکنون به مثلث $ADB$ نگاه می‌کنیم. می‌خواهیم نشان دهیم $AD=DB$ یا $\hat{A}DB = \hat{ADB}A$. 5. زاویه $\hat{B}$ در مثلث $ABC$ برابر $50^\circ$ است. زاویه $\hat{D}BC$ برابر $10^\circ$ است، پس زاویه $\hat{A}DB$ برابر است با: $$\hat{A}DB = \hat{B} - \hat{D}BC = 50^\circ - 10^\circ = 40^\circ$$ 6. زاویه $\hat{ADB}$ در مثلث $ADB$ برابر زاویه $\hat{D}BC$ نیست، بلکه باید زاویه $\hat{D}AB$ را محاسبه کنیم. زاویه $\hat{D}CB = 30^\circ$ است و زاویه $\hat{C} = 50^\circ$، پس زاویه $\hat{D}AB$ برابر است با: $$\hat{D}AB = \hat{C} - \hat{D}CB = 50^\circ - 30^\circ = 20^\circ$$ 7. زاویه سوم مثلث $ADB$ برابر است با: $$\hat{A}DB = 180^\circ - 80^\circ - 20^\circ = 80^\circ$$ 8. بنابراین در مثلث $ADB$ دو زاویه برابر داریم: $$\hat{A} = 80^\circ, \quad \hat{ADB} = 80^\circ$$ 9. چون دو زاویه برابرند، مثلث $ADB$ متساوی الساقین است و دو ضلع مقابل این زوایا برابرند. پس: $$AD = DB$$ نتیجه: مثلث $ADB$ متساوی الساقین است.