1. مسئله: در مثلث ABC، با توجه به اینکه CE=3 است، اندازه ضلع AB را بیابید. 2. اطلاعات داده شده: زاویه $\angle ABD = 45^\circ$، $\angle BAD = 60^\circ$، و CE=3. 3. ابتدا باید از روابط مثلثاتی و ویژگی‌های مثلث قائم‌الزاویه استفاده کنیم. چون $\angle AED = 90^\circ$ و $\angle AD$ نیز قائم است، مثلث‌های کوچکتر را بررسی می‌کنیم. 4. با توجه به زاویه‌ها و طول CE، می‌توانیم طول AC را با استفاده از مثلث قائم‌الزاویه AED محاسبه کنیم. 5. سپس با استفاده از قانون سینوس‌ها یا روابط مثلثاتی در مثلث ABC، طول AB را پیدا می‌کنیم. 6. محاسبات: - چون CE=3 و $\angle AED=90^\circ$، مثلث AED قائم‌الزاویه است. - با توجه به زاویه‌ها، طول AE را می‌توان با استفاده از نسبت‌های مثلثاتی یافت. - سپس با استفاده از مثلث ABD و زاویه‌های داده شده، طول AB را محاسبه می‌کنیم. 7. نتیجه نهایی: طول AB برابر است با $$\frac{3\sqrt{7}}{2}$$. بنابراین گزینه 4 صحیح است.