1. **Постановка задачи:** Даны секущие EA и EB, пересекающие окружность с центром в точке O, и хорда CD. Известно, что $AB=AE$ и $BE=12$. Нужно найти длину хорды $CD$. 2. **Формула для секущих:** По теореме о секущих из точки вне окружности выполняется равенство: $$EA \cdot EB = EC \cdot ED,$$ где $E$ — точка вне окружности, $A$ и $B$ — точки пересечения секущих с окружностью, $C$ и $D$ — точки пересечения другой секущей с окружностью. 3. **Дано:** $AB=AE$, $BE=12$. Обозначим $AE = x$. Тогда $AB = x$. 4. Поскольку $A$ и $B$ лежат на окружности, $AB$ — хорда, и $AE$ — отрезок от точки $E$ до точки $A$ вне окружности. 5. Из условия $EA \cdot EB = EC \cdot ED$: $$x \cdot 12 = EC \cdot ED.$$ 6. Заметим, что $AB = x$, а $AB$ — хорда, значит длина $AB = x$. 7. Поскольку $AB = AE = x$, то $EA = x$. 8. Тогда произведение секущих: $$EA \cdot EB = x \cdot 12 = 12x.$$ 9. По условию $CD$ — хорда, длину которой нужно найти. Обозначим $CD = y$. 10. Из теоремы о секущих: $$EC \cdot ED = 12x.$$ 11. Если $CD$ — хорда, то $EC$ и $ED$ — отрезки, на которые хорда делится точкой $E$ (если $E$ лежит на хорде), либо $E$ — точка пересечения секущих, и $EC$ и $ED$ — части другой секущей. 12. В задаче не указано, что $E$ лежит на хорде $CD$, значит $E$ — точка пересечения секущих, и $EC$ и $ED$ — части другой секущей. 13. По условию $AB=AE=x$, $BE=12$, значит $E$ лежит вне окружности, и $EA$ и $EB$ — секущие. 14. Тогда по теореме о секущих: $$EA \cdot EB = EC \cdot ED,$$ то есть $$12x = EC \cdot ED.$$ 15. Если $CD$ — хорда, то длина $CD$ равна сумме $EC + ED$. 16. Чтобы найти $CD$, воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим: $$\frac{EC + ED}{2} \geq \sqrt{EC \cdot ED} = \sqrt{12x}.$$ 17. Максимальное значение длины хорды $CD$ достигается, когда $EC = ED$, тогда $$CD = EC + ED = 2\sqrt{12x} = 2\sqrt{12x}.$$ 18. Но $x = AE = AB$, а $AB$ — хорда, длина которой равна $x$. 19. Таким образом, длина хорды $CD$ равна $$CD = 2\sqrt{12x} = 2\sqrt{12 \cdot AB}.$$ 20. Если $AB = AE = x$, и $BE=12$, то длина хорды $CD$ равна $$CD = 2\sqrt{12x}.$$ **Ответ:** длина хорды $CD$ равна $$2\sqrt{12 \cdot AB}.$$