1. **Problema:** Determinar algebraicamente si la línea $y = -3x$ es secante, exterior o tangente a la circunferencia $C: x^2 + y^2 = 14$. 2. **Fórmula y regla:** Para saber la relación entre una línea y una circunferencia, sustituimos $y$ en la ecuación de la circunferencia y analizamos el discriminante $\Delta$ de la ecuación cuadrática resultante. - Si $\Delta > 0$, la línea es secante (interseca en dos puntos). - Si $\Delta = 0$, la línea es tangente (interseca en un punto). - Si $\Delta < 0$, la línea es exterior (no interseca). 3. **Sustitución:** Sustituimos $y = -3x$ en $x^2 + y^2 = 14$: $$x^2 + (-3x)^2 = 14$$ $$x^2 + 9x^2 = 14$$ $$10x^2 = 14$$ $$x^2 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$$ 4. **Ecuación cuadrática:** La ecuación es $10x^2 - 14 = 0$. 5. **Discriminante:** Para $ax^2 + bx + c = 0$, $a=10$, $b=0$, $c=-14$. $$\Delta = b^2 - 4ac = 0^2 - 4(10)(-14) = 560 > 0$$ 6. **Conclusión:** Como $\Delta > 0$, la línea es secante. --- 1. **Problema:** Determinar algebraicamente si la línea $x = 8y$ es secante, exterior o tangente a la circunferencia $C: (x - 9)^2 + (y + 7)^2 = 11$. 2. **Fórmula y regla:** Igual que antes, sustituimos $x = 8y$ en la ecuación de la circunferencia y analizamos el discriminante. 3. **Sustitución:** $$(8y - 9)^2 + (y + 7)^2 = 11$$ Expandimos: $$64y^2 - 144y + 81 + y^2 + 14y + 49 = 11$$ Simplificamos: $$65y^2 - 130y + 130 = 11$$ $$65y^2 - 130y + 119 = 0$$ 4. **Discriminante:** Para $a=65$, $b=-130$, $c=119$: $$\Delta = (-130)^2 - 4(65)(119) = 16900 - 30940 = -14040 < 0$$ 5. **Conclusión:** Como $\Delta < 0$, la línea es exterior. **Respuesta final:** - Para el problema 1: la línea es secante. - Para el problema 2: la línea es exterior.