1. Planteamos el problema: Tenemos una valla que actúa como hipotenusa de un triángulo rectángulo con longitud $\sqrt{200}$ metros. Queremos encontrar las medidas de los otros dos lados que maximizan el área del triángulo. 2. Recordemos que en un triángulo rectángulo, la hipotenusa $c$ y los catetos $a$ y $b$ cumplen el teorema de Pitágoras: $$a^2 + b^2 = c^2$$ 3. El área $A$ de un triángulo rectángulo es: $$A = \frac{1}{2}ab$$ 4. Dado que $c = \sqrt{200}$, entonces: $$a^2 + b^2 = (\sqrt{200})^2 = 200$$ 5. Para maximizar el área, expresamos $b$ en función de $a$: $$b = \sqrt{200 - a^2}$$ 6. Entonces el área es función de $a$: $$A(a) = \frac{1}{2} a \sqrt{200 - a^2}$$ 7. Derivamos $A(a)$ para encontrar el máximo: $$A'(a) = \frac{1}{2} \left( \sqrt{200 - a^2} + a \cdot \frac{-a}{\sqrt{200 - a^2}} \right) = \frac{1}{2} \left( \sqrt{200 - a^2} - \frac{a^2}{\sqrt{200 - a^2}} \right)$$ 8. Simplificamos la derivada: $$A'(a) = \frac{1}{2} \cdot \frac{200 - a^2 - a^2}{\sqrt{200 - a^2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{200 - 2a^2}{\sqrt{200 - a^2}}$$ 9. Igualamos la derivada a cero para encontrar puntos críticos: $$\frac{1}{2} \cdot \frac{200 - 2a^2}{\sqrt{200 - a^2}} = 0 \implies 200 - 2a^2 = 0$$ 10. Resolviendo para $a$: $$200 = 2a^2 \implies a^2 = 100 \implies a = 10$$ 11. Calculamos $b$: $$b = \sqrt{200 - 10^2} = \sqrt{200 - 100} = \sqrt{100} = 10$$ 12. Por lo tanto, los otros dos lados deben medir 10 metros cada uno para maximizar el área. 13. Verificación: El triángulo es isósceles rectángulo con catetos iguales y área máxima. Respuesta final: Los otros dos lados deben medir $10$ metros cada uno para que el área del triángulo sea máxima.