1. مسئله: پنجره‌ای داریم که شامل یک مستطیل به عرض $x$ و ارتفاع $y$ است و بالای آن یک مثلث متساوی الاضلاع با ضلع $x$ قرار دارد. محیط کل پنجره برابر 8 متر است. می‌خواهیم طول ضلع مثلث $x$ را طوری پیدا کنیم که مساحت پنجره (که نشان‌دهنده نوردهی است) بیشینه شود. 2. فرمول‌ها و قواعد مهم: - محیط پنجره برابر مجموع اضلاع است: محیط = $2y + 3x = 8$ - مساحت پنجره برابر مجموع مساحت مستطیل و مثلث است: $$A = xy + \frac{\sqrt{3}}{4}x^2$$ - هدف: بیشینه کردن $A$ با توجه به محدودیت محیط. 3. از معادله محیط، $y$ را بر حسب $x$ پیدا می‌کنیم: $$2y + 3x = 8 \Rightarrow y = \frac{8 - 3x}{2}$$ 4. مساحت را بر حسب $x$ می‌نویسیم: $$A(x) = x \cdot \frac{8 - 3x}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 = \frac{8x - 3x^2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}x^2$$ 5. ساده‌سازی: $$A(x) = 4x - \frac{3}{2}x^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}x^2 = 4x + x^2\left(-\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$$ 6. مشتق $A(x)$ را برای یافتن نقاط بحرانی محاسبه می‌کنیم: $$A'(x) = 4 + 2x\left(-\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right) = 4 + x\left(-3 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$ 7. مشتق را صفر قرار می‌دهیم: $$4 + x\left(-3 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 0 \Rightarrow x = \frac{-4}{-3 + \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{3 - \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ 8. مقدار عددی: $$3 - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 3 - 0.866 = 2.134$$ $$x \approx \frac{4}{2.134} \approx 1.874$$ 9. بررسی دامنه: $x$ باید مثبت و طوری باشد که $y$ مثبت باشد: $$y = \frac{8 - 3x}{2} > 0 \Rightarrow 8 - 3x > 0 \Rightarrow x < \frac{8}{3} \approx 2.667$$ مقدار $x=1.874$ در دامنه معتبر است. 10. نتیجه: طول ضلع مثلث متساوی الاضلاع برای بیشینه کردن نوردهی پنجره تقریباً برابر $1.87$ متر است.