1. مسئله را بیان می‌کنیم: مثلثی با رئوس A(-1,2)، B(3,0)، C(1,-2) داده شده است. الف) معادله میانه AM را بیابید. ب) طول ارتفاع AH را تعیین کنید. 2. برای یافتن معادله میانه AM ابتدا نقطه میانه M ضلع BC را پیدا می‌کنیم. فرمول نقطه میانه بین دو نقطه $B(x_1,y_1)$ و $C(x_2,y_2)$ به صورت زیر است: $$M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$$ 3. با جایگذاری مختصات B(3,0) و C(1,-2) داریم: $$M=\left(\frac{3+1}{2},\frac{0+(-2)}{2}\right)=\left(2,-1\right)$$ 4. معادله خط AM را با استفاده از فرمول شیب و نقطه می‌نویسیم. شیب خط بین نقاط $A(x_1,y_1)$ و $M(x_2,y_2)$ برابر است با: $$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-1-2}{2-(-1)}=\frac{-3}{3}=-1$$ 5. معادله خط با شیب $m$ و عبور از نقطه $A(-1,2)$ به صورت نقطه-شیب است: $$y - y_1 = m(x - x_1)$$ $$y - 2 = -1(x + 1)$$ $$y - 2 = -x - 1$$ $$y = -x + 1$$ 6. برای یافتن طول ارتفاع AH، ابتدا معادله خط BC را پیدا می‌کنیم. شیب خط BC: $$m_{BC} = \frac{-2 - 0}{1 - 3} = \frac{-2}{-2} = 1$$ 7. معادله خط BC با شیب 1 و عبور از نقطه B(3,0): $$y - 0 = 1(x - 3)$$ $$y = x - 3$$ 8. ارتفاع AH خطی است که از A عمود بر BC است. شیب خط AH معکوس منفی شیب BC است: $$m_{AH} = -\frac{1}{m_{BC}} = -1$$ 9. معادله خط AH با شیب -1 و عبور از A(-1,2): $$y - 2 = -1(x + 1)$$ $$y = -x + 1$$ 10. نقطه H محل برخورد خطوط AH و BC است. معادلات: $$y = -x + 1$$ $$y = x - 3$$ با مساوی قرار دادن: $$-x + 1 = x - 3$$ $$1 + 3 = x + x$$ $$4 = 2x$$ $$x = 2$$ 11. جایگذاری $x=2$ در معادله $y = x - 3$: $$y = 2 - 3 = -1$$ پس نقطه H برابر است با $(2,-1)$. 12. طول ارتفاع AH برابر فاصله بین نقاط A(-1,2) و H(2,-1) است. فرمول فاصله بین دو نقطه $P(x_1,y_1)$ و $Q(x_2,y_2)$: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ 13. محاسبه فاصله AH: $$AH = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$ 14. پاسخ نهایی: الف) معادله میانه AM: $$y = -x + 1$$ ب) طول ارتفاع AH: $$3\sqrt{2}$$