1. **Énoncé du problème :** Déterminer une équation cartésienne de la droite médiatrice du segment [AB] avec A(5,4) et B(3,6). 2. **Formule et règles importantes :** La médiatrice d'un segment est la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu. - Calcul du milieu $M$ de $[AB]$ : $$M\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$$ - Calcul du vecteur directeur de $AB$ : $$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)$$ - La médiatrice est perpendiculaire à $\overrightarrow{AB}$, donc son vecteur directeur est $\overrightarrow{n} = (y_B - y_A, -(x_B - x_A))$. - Équation cartésienne de la droite médiatrice : $$n_1(x - x_M) + n_2(y - y_M) = 0$$ 3. **Calculs intermédiaires :** - Milieu $M$ : $$M\left(\frac{5+3}{2}, \frac{4+6}{2}\right) = M(4,5)$$ - Vecteur $\overrightarrow{AB}$ : $$\overrightarrow{AB} = (3-5, 6-4) = (-2, 2)$$ - Vecteur normal $\overrightarrow{n}$ : $$\overrightarrow{n} = (2, 2)$$ 4. **Équation de la médiatrice :** $$2(x - 4) + 2(y - 5) = 0$$ $$2x - 8 + 2y - 10 = 0$$ $$2x + 2y - 18 = 0$$ On peut simplifier en divisant par 2 : $$\cancel{2}x + \cancel{2}y - \cancel{18} = 0 \Rightarrow x + y - 9 = 0$$ **Réponse finale :** L'équation cartésienne de la médiatrice du segment [AB] est $$x + y - 9 = 0$$