1. نبدأ ببيان المسألة: لدينا مثلث ABC بأضلاع $AC=6$ سم، $AB=7$ سم، و$BC=5$ سم. 2. النقطة E هي نقطة على المستقيم AB بالنسبة للنقطة B، والنقطة F هي نقطة على المستقيم AC بالنسبة للنقطة C. 3. المطلوب: إثبات أن $EF \parallel BC$ ثم حساب طول $EF$. 4. نستخدم نظرية التناسب في المثلثات: إذا كان خط يقطع ضلعين في مثلث ويوازي الضلع الثالث، فإن النسب بين الأجزاء المتقابلة متساوية. 5. بما أن E نقطة على AB بالنسبة لـ B، وF نقطة على AC بالنسبة لـ C، فإننا نفترض أن E وF تقسمان الأضلاع بنسبة معينة. 6. نحدد النسب: لنفترض أن E تقسم AB بنسبة $\lambda$ من B إلى A، أي $BE=\lambda \times AB$، وF تقسم AC بنسبة $\lambda$ من C إلى A، أي $CF=\lambda \times AC$. 7. إذا كان $EF \parallel BC$، فإن $\frac{BE}{AB} = \frac{CF}{AC} = \lambda$. 8. إذن، $EF$ هو قطعة في المثلث ABC تقطع الأضلاع AB وAC بنسبة متساوية $\lambda$. 9. لحساب طول $EF$، نستخدم نظرية فيثاغورس أو قانون المسافة في المثلث. 10. نوجد طول $EF$ باستخدام التشابه: $EF = \lambda \times BC$. 11. بما أن $BC=5$ سم، وطول $EF = \lambda \times 5$. 12. نحتاج إلى تحديد $\lambda$، وهي نسبة تقسيم E وF على AB وAC. 13. بما أن E نقطة A بالنسبة للنقطة B، وF نقطة A بالنسبة للنقطة C، فإن $\lambda=1$ (لأن E وF هما نفس النقطة A). 14. إذن، $EF = 1 \times 5 = 5$ سم. 15. الاستنتاج: $EF \parallel BC$ وطول $EF=5$ سم. النتيجة النهائية: $$EF = 5\, \text{cm}$$