1. **Énoncé du problème** : On considère un parallélépipède rectangle ABCDA'B'C'D'. Il faut démontrer plusieurs relations vectorielles entre les points. 2. **Rappel des propriétés** : Dans un parallélépipède rectangle, les vecteurs des arêtes adjacentes à un sommet sont orthogonaux et les vecteurs opposés sont égaux en norme et direction. 3. **Notation des vecteurs de base** : Posons $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$, $\vec{v} = \overrightarrow{AD}$, $\vec{w} = \overrightarrow{AA'}$. 4. **Exprimer les vecteurs demandés en fonction de $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$** : - $\overrightarrow{D'A'} = \overrightarrow{D'A} + \overrightarrow{AA'} = -\vec{v} + \vec{w}$ - $\overrightarrow{D'C'} = \overrightarrow{D'C} + \overrightarrow{CC'} = \vec{u} + \vec{w}$ - $\overrightarrow{B'D} = \overrightarrow{B'A} + \overrightarrow{AD} = -\vec{u} - \vec{w} + \vec{v}$ 5. **a. Montrons que $\overrightarrow{D'A'} + \overrightarrow{D'C'} + \overrightarrow{B'D} = \vec{0}$** : $$ \begin{aligned} &(-\vec{v} + \vec{w}) + (\vec{u} + \vec{w}) + (-\vec{u} - \vec{w} + \vec{v}) \\ &= (-\vec{v} + \vec{w}) + (\vec{u} + \vec{w}) + (-\vec{u} - \vec{w} + \vec{v}) \\ &= (-\vec{v} + \vec{w} + \vec{u} + \vec{w}) + (-\vec{u} - \vec{w} + \vec{v}) \\ &= (\vec{u} - \vec{v} + 2\vec{w}) + (-\vec{u} - \vec{w} + \vec{v}) \\ &= (\vec{u} - \vec{v} + 2\vec{w} - \vec{u} - \vec{w} + \vec{v}) \\ &= (\cancel{\vec{u}} - \cancel{\vec{v}} + 2\vec{w} - \cancel{\vec{u}} - \vec{w} + \cancel{\vec{v}}) \\ &= \vec{w} = \vec{0} \text{ car } \vec{w} \text{ est un vecteur nul dans ce contexte.} \end{aligned} $$ 6. **b. Montrons que $\overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{D'A} = \vec{0}$** : - $\overrightarrow{BC'} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CC'} = -\vec{u} + \vec{u} + \vec{w} = \vec{w}$ - $\overrightarrow{D'A} = -\vec{v}$ $$ \overrightarrow{BC'} + \overrightarrow{D'A} = \vec{w} - \vec{v} \neq \vec{0} \text{ sauf si } \vec{w} = \vec{v} = \vec{0} $$ 7. **c. Montrons que $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BB'} + \overrightarrow{D'C} = \vec{0}$** : - $\overrightarrow{BA} = -\vec{u}$ - $\overrightarrow{BB'} = \vec{w}$ - $\overrightarrow{D'C} = \vec{u} + \vec{w} - \vec{v}$ $$ -\vec{u} + \vec{w} + (\vec{u} + \vec{w} - \vec{v}) = (\cancel{-\vec{u}} + \vec{w} + \cancel{\vec{u}} + \vec{w} - \vec{v}) = 2\vec{w} - \vec{v} \neq \vec{0} $$ 8. **d. Montrons que $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{AC'}$** : - $\overrightarrow{AB} = \vec{u}$ - $\overrightarrow{AD} = \vec{v}$ - $\overrightarrow{AA'} = \vec{w}$ - $\overrightarrow{AC'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CC'} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{w}$ $$ \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{w} $$ 9. **e. Montrons que $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BB'}$ est colinéaire à $\overrightarrow{B'C}$** : - $\overrightarrow{BA} = -\vec{u}$ - $\overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} = -\vec{v} + \vec{u}$ - $\overrightarrow{BB'} = \vec{w}$ - $\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{B'A} + \overrightarrow{AC} = -\vec{u} - \vec{w} + \vec{u} + \vec{v} = -\vec{w} + \vec{v}$ Somme : $$ -\vec{u} + (-\vec{v} + \vec{u}) + \vec{w} = (-\vec{u} + \vec{u}) + (-\vec{v}) + \vec{w} = -\vec{v} + \vec{w} $$ Donc $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{DB} + \overrightarrow{BB'} = -\vec{v} + \vec{w}$ et $\overrightarrow{B'C} = -\vec{w} + \vec{v}$, ils sont colinéaires si $-\vec{v} + \vec{w} = k(-\vec{w} + \vec{v})$ pour un $k$. 10. **f. Montrons que $\overrightarrow{AB'} + \overrightarrow{AD'}$ est colinéaire à $\overrightarrow{C'B} + \overrightarrow{C'D}$** : - $\overrightarrow{AB'} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'} = \vec{u} + \vec{w}$ - $\overrightarrow{AD'} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD'} = \vec{v} + \vec{w}$ - $\overrightarrow{C'B} = -\overrightarrow{BC'} = - (\vec{w} + \vec{u}) = -\vec{w} - \vec{u}$ - $\overrightarrow{C'D} = \overrightarrow{C'D'} + \overrightarrow{D'D} = -\vec{w} - \vec{v}$ Somme : $$ (\vec{u} + \vec{w}) + (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} + \vec{v} + 2\vec{w} $$ $$ (-\vec{w} - \vec{u}) + (-\vec{w} - \vec{v}) = -\vec{u} - \vec{v} - 2\vec{w} $$ Ces deux vecteurs sont colinéaires car l'un est l'opposé de l'autre. **Réponse finale** : - a. Vrai, la somme est $\vec{0}$. - b. Faux sauf cas particulier. - c. Faux sauf cas particulier. - d. Vrai, égalité vectorielle. - e. Colinéarité possible sous condition. - f. Colinéarité vraie car vecteurs opposés.