1. **Problemstellung:** Gegeben ist eine Gerade $g$ mit der Gleichung $y = \frac{1}{2}x - 2$ und ein Parallelogramm $AB_nC_nD$ mit festem Vektor $\overrightarrow{B_nC_n} = \begin{pmatrix}4 \\ 5\end{pmatrix}$ und Punkt $A(-4{,}5|-1)$. Gesucht sind Flächeninhalte und Koordinaten für verschiedene $x$-Werte. 2. **Formeln und Regeln:** - Die Fläche eines Parallelogramms mit den Seitenvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ist $A = |\vec{u} \times \vec{v}|$ (Betrag des Kreuzprodukts). - Für Punkte $A$, $B_n$, $C_n$, $D$ gilt: $\overrightarrow{B_nC_n} = \begin{pmatrix}4 \\ 5\end{pmatrix}$ und $D = A + \overrightarrow{B_nC_n}$. - $B_n$ liegt auf der Geraden $g$, also $B_n = (x, \frac{1}{2}x - 2)$. 3. **Berechnung der Punkte:** - $B_n = \left(x, \frac{1}{2}x - 2\right)$ - $C_n = B_n + \overrightarrow{B_nC_n} = \left(x + 4, \frac{1}{2}x - 2 + 5\right) = \left(x + 4, \frac{1}{2}x + 3\right)$ - $D = A + \overrightarrow{B_nC_n} = \left(-4{,}5 + 4, -1 + 5\right) = \left(-0{,}5, 4\right)$ 4. **Vektor $\overrightarrow{AB_n}$:** $$\overrightarrow{AB_n} = B_n - A = \begin{pmatrix}x - (-4{,}5) \\ \frac{1}{2}x - 2 - (-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x + 4{,}5 \\ \frac{1}{2}x - 1\end{pmatrix}$$ 5. **Flächeninhalt $A_n$:** $$A_n = \left| \overrightarrow{AB_n} \times \overrightarrow{B_nC_n} \right| = \left| (x + 4{,}5) \cdot 5 - \left(\frac{1}{2}x - 1\right) \cdot 4 \right|$$ $$= \left|5x + 22{,}5 - 2x + 4\right| = \left|3x + 26{,}5\right|$$ 6. **a) Für $x = -1$ und $x = 2$:** - $A_1 = |3(-1) + 26{,}5| = | -3 + 26{,}5| = 23{,}5$ - $A_2 = |3(2) + 26{,}5| = |6 + 26{,}5| = 32{,}5$ 7. **b) Flächeninhalt in Abhängigkeit von $x$:** $$A(x) = |3x + 26{,}5|$$ 8. **c) Für $A_3 = 19$ FE:** $$19 = |3x + 26{,}5|$$ Daraus folgen zwei Fälle: - $3x + 26{,}5 = 19 \Rightarrow 3x = -7{,}5 \Rightarrow x = -2{,}5$ - $3x + 26{,}5 = -19 \Rightarrow 3x = -45{,}5 \Rightarrow x = -15{,}17$ 9. **Koordinaten für $x = -2{,}5$:** - $B_3 = \left(-2{,}5, \frac{1}{2}(-2{,}5) - 2\right) = (-2{,}5, -3{,}25)$ - $C_3 = B_3 + \begin{pmatrix}4 \\ 5\end{pmatrix} = (1{,}5, 1{,}75)$ - $D = A + \begin{pmatrix}4 \\ 5\end{pmatrix} = (-0{,}5, 4)$ 10. **d) Wertebereich des Flächeninhalts:** - Da $A(x) = |3x + 26{,}5|$ ist der Flächeninhalt immer $\geq 0$. - Für $x$ auf der Geraden $g$ sind alle reellen $x$ möglich, somit ist der Flächeninhalt $\geq 0$ und kann beliebig groß werden. **Endergebnis:** - $A_1 = 23{,}5$ FE - $A_2 = 32{,}5$ FE - $A(x) = |3x + 26{,}5|$ - Für $A_3 = 19$ FE gilt $x = -2{,}5$ oder $x = -15{,}17$ - Koordinaten für $x = -2{,}5$: $B_3(-2{,}5, -3{,}25)$, $C_3(1{,}5, 1{,}75)$, $D(-0{,}5, 4)$ - Flächeninhalt ist immer $\geq 0$ und $x$ kann alle reellen Werte annehmen.