1. **Énoncé du problème :** Soient les points $A(1,-1)$, $B(-1,1)$, $C(\sqrt{3},\sqrt{3})$ et le cercle $(C)$ de centre $A$ passant par $C$. Nous devons : - Trouver la représentation paramétrique du cercle $(C)$. - Vérifier que $B$ appartient au cercle $(C)$ et déterminer l'équation de la tangente $(T)$ en $B$. - Étudier la position relative de la droite $(\Delta)$ d'équation $x + y - 1 = 0$ par rapport au cercle $(C)$. 2. **Représentation paramétrique du cercle :** Le cercle de centre $A(x_0,y_0)$ et de rayon $r$ a pour équation : $$ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 $$ Le rayon $r$ est la distance entre $A$ et $C$ : $$ r = \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{3} + 1)^2} $$ Calculons : $$ (\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3} $$ $$ (\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3} $$ Donc : $$ r^2 = (4 - 2\sqrt{3}) + (4 + 2\sqrt{3}) = 8 $$ $$ r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $$ La représentation paramétrique du cercle est : $$ \begin{cases} x = x_0 + r \cos t = 1 + 2\sqrt{2} \cos t \\ y = y_0 + r \sin t = -1 + 2\sqrt{2} \sin t \end{cases} $$ avec $t \in [0, 2\pi]$. 3. **Vérification que $B$ appartient au cercle $(C)$ :** Calculons la distance $AB$ : $$ AB = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (1 + 1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} $$ Comme $AB = r$, le point $B$ appartient bien au cercle. 4. **Équation de la tangente $(T)$ au cercle en $B$ :** La tangente au cercle en $B$ est perpendiculaire au rayon $AB$. Le vecteur $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (-1 - 1, 1 + 1) = (-2, 2)$. Un vecteur directeur de la tangente est donc $\overrightarrow{u} = (2, 2)$ (perpendiculaire à $\overrightarrow{AB}$). L'équation de la tangente passant par $B(-1,1)$ est : $$ (x + 1) \cdot 2 + (y - 1) \cdot 2 = 0 $$ $$ 2(x + 1) + 2(y - 1) = 0 $$ $$ 2x + 2 + 2y - 2 = 0 $$ $$ 2x + 2y = 0 $$ $$ x + y = 0 $$ 5. **Étude de la position relative de la droite $(\Delta): x + y - 1 = 0$ et du cercle $(C)$ :** Calculons la distance du centre $A(1,-1)$ à la droite $(\Delta)$ : $$ d = \frac{|1 + (-1) - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{| -1 |}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} $$ Comparons cette distance au rayon $r = 2\sqrt{2}$ : $$ d = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707 < r = 2.828 $$ La distance est inférieure au rayon, donc la droite $(\Delta)$ coupe le cercle en deux points distincts. **Réponses finales :** - Représentation paramétrique du cercle : $$ \begin{cases} x = 1 + 2\sqrt{2} \cos t \\ y = -1 + 2\sqrt{2} \sin t \end{cases} $$ - $B$ appartient au cercle. - Équation de la tangente en $B$ : $$ x + y = 0 $$ - La droite $(\Delta)$ coupe le cercle en deux points.