1. **Énoncé du problème e)** Déterminer la perpendiculaire commune entre la diagonale $BD'$ et la diagonale de face $A'C'$ dans un cube d'arête $a$, puis calculer la distance entre ces deux droites. 2. **Formule et critères** Pour deux droites gauches, la distance $d$ est donnée par : $$d = \frac{|(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{PQ}|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$$ avec $\vec{u}$ et $\vec{v}$ les vecteurs directeurs des droites, et $\vec{PQ}$ un vecteur joignant un point de la première droite à un point de la seconde. 3. **Calculs pour e)** - Coordonnées dans le cube : $B = (a,0,0)$, $D' = (0,a,a)$, $A' = (0,0,a)$, $C' = (a,a,a)$ - Vecteurs directeurs : $\vec{u} = \overrightarrow{BD'} = D' - B = (-a,a,a)$ $\vec{v} = \overrightarrow{A'C'} = C' - A' = (a,a,0)$ - Vecteur $\vec{PQ} = \overrightarrow{BA'} = A' - B = (-a,0,a)$ 4. **Produit vectoriel** $$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -a & a & a \\ a & a & 0 \end{vmatrix} = (-a^2)\vec{i} + a^2\vec{j} - 2a^2\vec{k}$$ 5. **Produit scalaire** $$ (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{PQ} = (-a^2)(-a) + a^2(0) + (-2a^2)(a) = a^3 - 2a^3 = -a^3 $$ 6. **Normes** $$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(-a^2)^2 + (a^2)^2 + (-2a^2)^2} = \sqrt{a^4 + a^4 + 4a^4} = \sqrt{6}a^2$$ 7. **Distance** $$d = \frac{| -a^3 |}{\sqrt{6}a^2} = \frac{a}{\sqrt{6}} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$$ --- 8. **Énoncé du problème f)** Déterminer la perpendiculaire commune entre les diagonales de faces sécantes $A'B$ et $B'C$ dans un cube d'arête $a$, puis calculer la distance entre ces droites. 9. **Coordonnées** $A' = (0,0,a)$, $B = (a,0,0)$, $B' = (a,0,a)$, $C = (a,a,0)$ 10. **Vecteurs directeurs** $\vec{u} = \overrightarrow{A'B} = B - A' = (a,0,-a)$ $\vec{v} = \overrightarrow{B'C} = C - B' = (0,a,-a)$ 11. **Vecteur $\vec{PQ}$** $\vec{PQ} = \overrightarrow{A'B'} = B' - A' = (a,0,0)$ 12. **Produit vectoriel** $$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & 0 & -a \\ 0 & a & -a \end{vmatrix} = (a^2)\vec{i} + (a^2)\vec{j} + (a^2)\vec{k} = a^2(1,1,1)$$ 13. **Produit scalaire** $$ (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{PQ} = a^2(1,1,1) \cdot (a,0,0) = a^3 $$ 14. **Norme** $$|\vec{u} \times \vec{v}| = a^2 \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = a^2 \sqrt{3}$$ 15. **Distance** $$d = \frac{|a^3|}{a^2 \sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$ --- 16. **Énoncé du problème 2** Déterminer la perpendiculaire commune entre deux arêtes gauches d'un tétraèdre régulier d'arête $a$ et calculer la distance entre ces arêtes. 17. **Propriétés** Dans un tétraèdre régulier, les arêtes gauches sont non coplanaires et égales. 18. **Choix des arêtes** Considérons les arêtes $AB$ et $CD$. 19. **Vecteurs directeurs** $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$, $\vec{v} = \overrightarrow{CD}$, avec $|\vec{u}| = |\vec{v}| = a$. 20. **Distance** La distance entre ces arêtes est $$d = \frac{|(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{AC}|}{|\vec{u} \times \vec{v}|} = \frac{a \sqrt{6}}{4}$$ --- 21. **Énoncé du problème 3** Construire un cube dont deux arêtes sont portées par deux droites gauches orthogonales données. 22. **Critères de construction** - Les arêtes d'un cube sont de même longueur $a$. - Deux droites gauches orthogonales sont non coplanaires et forment un angle de 90°. 23. **Construction** - Placer la première arête sur la première droite. - Construire la deuxième arête orthogonale à la première, de même longueur, sur la deuxième droite. - Compléter le cube en construisant les autres arêtes parallèles et perpendiculaires selon la géométrie du cube. 24. **Justification** La construction est possible car les droites gauches orthogonales correspondent aux directions de deux arêtes adjacentes du cube, ce qui garantit la cohérence géométrique.