1. **Énoncé du problème :** Dans un repère orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, on considère les points $A(-1,0,1)$, $B(-3,2,2)$, $C(-1,1,2)$ et $D(2,7,-4)$. La droite $(\Delta)$ passe par $D$ et est dirigée par le vecteur $\vec{u}(2,1,2)$. 1.a. Montrer que $\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC} = \vec{i} + 2\vec{j} - 2\vec{k}$. 2. **Formule et règles importantes :** Le produit vectoriel de deux vecteurs $\vec{v} = (v_1,v_2,v_3)$ et $\vec{w} = (w_1,w_2,w_3)$ est donné par : $$ \vec{v} \wedge \vec{w} = (v_2 w_3 - v_3 w_2,\; v_3 w_1 - v_1 w_3,\; v_1 w_2 - v_2 w_1) $$ 3. **Calcul de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :** $$ \overrightarrow{AB} = B - A = (-3 - (-1), 2 - 0, 2 - 1) = (-2, 2, 1) $$ $$ \overrightarrow{AC} = C - A = (-1 - (-1), 1 - 0, 2 - 1) = (0, 1, 1) $$ 4. **Calcul du produit vectoriel $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ :** $$ \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \left(2 \times 1 - 1 \times 1,\; 1 \times 0 - (-2) \times 1,\; (-2) \times 1 - 2 \times 0\right) = (2 - 1, 0 + 2, -2 - 0) = (1, 2, -2) $$ 5. **Conclusion 1.a :** On a bien $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \vec{i} + 2\vec{j} - 2\vec{k}$. --- 1.b. Déduire que $x + 2y - 2z + 3 = 0$ est une équation cartésienne du plan $(ABC)$. 6. **Formule d'équation cartésienne d'un plan :** Si $\vec{n} = (a,b,c)$ est un vecteur normal au plan et $M_0(x_0,y_0,z_0)$ un point du plan, alors l'équation du plan est : $$ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 $$ 7. **Vecteur normal au plan $(ABC)$ :** $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = (1, 2, -2)$. 8. **Utilisation du point $A(-1,0,1)$ :** $$ 1(x + 1) + 2(y - 0) - 2(z - 1) = 0 $$ $$ x + 1 + 2y - 2z + 2 = 0 $$ $$ x + 2y - 2z + 3 = 0 $$ 9. **Conclusion 1.b :** L'équation cartésienne du plan $(ABC)$ est bien $x + 2y - 2z + 3 = 0$. --- 1.c. Calculer $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ et déduire que la droite $(\Delta)$ est parallèle au plan $(ABC)$. 10. **Produit scalaire de $\vec{n}$ et $\vec{u}$ :** $$ \vec{n} \cdot \vec{u} = (1, 2, -2) \cdot (2, 1, 2) = 1 \times 2 + 2 \times 1 + (-2) \times 2 = 2 + 2 - 4 = 0 $$ 11. **Interprétation :** Le produit scalaire nul signifie que $\vec{u}$ est orthogonal au vecteur normal $\vec{n}$ du plan $(ABC)$. 12. **Conclusion 1.c :** La droite $(\Delta)$ est parallèle au plan $(ABC)$ car son vecteur directeur est orthogonal au vecteur normal du plan. --- 2.a. Vérifier que $\overrightarrow{\Omega D} \cdot \vec{u} = 0$ et déduire que le rayon de la sphère $(S)$ est égal à 6. 13. **Calcul de $\overrightarrow{\Omega D}$ :** $$ \overrightarrow{\Omega D} = D - \Omega = (2 - 0, 7 - 3, -4 - 0) = (2, 4, -4) $$ 14. **Produit scalaire $\overrightarrow{\Omega D} \cdot \vec{u}$ :** $$ (2,4,-4) \cdot (2,1,2) = 2 \times 2 + 4 \times 1 + (-4) \times 2 = 4 + 4 - 8 = 0 $$ 15. **Interprétation :** Le vecteur $\overrightarrow{\Omega D}$ est orthogonal à $\vec{u}$, donc la droite $(\Delta)$ est tangente à la sphère de centre $\Omega$. 16. **Calcul du rayon $r$ :** Le rayon est la distance de $\Omega$ au point $D$ car la droite est tangente : $$ r = \|\overrightarrow{\Omega D}\| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6 $$ 17. **Conclusion 2.a :** Le rayon de la sphère $(S)$ est 6. --- 2.b. Calculer $d(\Omega,(ABC))$ et déduire que $(ABC)$ coupe la sphère $(S)$ selon un cercle $(\Gamma)$ de rayon $r = 3\sqrt{3}$. 18. **Distance d'un point $M_0$ au plan $ax + by + cz + d = 0$ :** $$ d = \frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} $$ 19. **Calcul de $d(\Omega,(ABC))$ avec $\Omega(0,3,0)$ et plan $x + 2y - 2z + 3 = 0$ :** $$ d = \frac{|0 + 2 \times 3 - 0 + 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|6 + 3|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{9}{3} = 3 $$ 20. **Rayon du cercle d'intersection :** Le cercle $(\Gamma)$ est l'intersection de la sphère de rayon 6 et du plan à distance 3 du centre. $$ r = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} $$ 21. **Conclusion 2.b :** Le plan $(ABC)$ coupe la sphère $(S)$ selon un cercle $(\Gamma)$ de rayon $3\sqrt{3}$. --- 2.c. Vérifier que $\overrightarrow{C\Omega} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ et déduire que le point $C$ est le centre du cercle $(\Gamma)$. 22. **Calcul de $\overrightarrow{C\Omega}$ :** $$ \overrightarrow{C\Omega} = \Omega - C = (0 - (-1), 3 - 1, 0 - 2) = (1, 2, -2) $$ 23. **Comparaison avec $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ :** On a vu que $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = (1, 2, -2)$. 24. **Conclusion 2.c :** $\overrightarrow{C\Omega} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$, donc $C$ est le centre du cercle $(\Gamma)$ d'intersection. --- **Réponses finales :** - $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \vec{i} + 2\vec{j} - 2\vec{k}$ - Équation du plan $(ABC)$ : $x + 2y - 2z + 3 = 0$ - La droite $(\Delta)$ est parallèle au plan $(ABC)$ - Rayon de la sphère $(S)$ : 6 - Rayon du cercle $(\Gamma)$ : $3\sqrt{3}$ - Le point $C$ est le centre du cercle $(\Gamma)$