1. نبدأ بتحديد إحداثيات النقطة G المعطاة بالمرجع {(A; -2); (B; 1); (C; -1)} حيث A(1;0), B(-3;2), C(1;3). صيغة إحداثيات G هي: $$G = -2A + 1B - 1C = -2(1,0) + 1(-3,2) - 1(1,3)$$ 2. نحسب كل مركبة: $$x_G = -2 \times 1 + (-3) - 1 = -2 - 3 - 1 = -6$$ $$y_G = -2 \times 0 + 2 - 3 = 0 + 2 - 3 = -1$$ إذن إحداثيات G هي $$(-6, -1)$$. 3. لإيجاد إحداثيات النقطة D بحيث يكون الرباعي ABCD متوازي أضلاع، نستخدم خاصية متوازي الأضلاع: $$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$$ حيث: $$\overrightarrow{BC} = C - B = (1 - (-3), 3 - 2) = (4, 1)$$ وبالتالي: $$D = A + \overrightarrow{BC} = (1, 0) + (4, 1) = (5, 1)$$ 4. لإيجاد الأعداد الحقيقية $$\alpha, \beta, \gamma$$ بحيث: $$D = \alpha A + \beta B + \gamma C$$ نكتب المعادلتين: $$5 = \alpha \times 1 + \beta \times (-3) + \gamma \times 1$$ $$1 = \alpha \times 0 + \beta \times 2 + \gamma \times 3$$ أي: $$5 = \alpha - 3\beta + \gamma$$ $$1 = 2\beta + 3\gamma$$ 5. مجموعة النقاط (\Gamma) المعرفة ب: $$||-2 MA + MB - MC|| = 2 ||MA - MB + MC||$$ هي مجموعة النقاط M في المستوي التي تحقق هذه المعادلة. 6. النقطة H معرفة بالعلاقة: $$\vec{0} = (m + 2) HA - HB + (m - 3) HC$$ أ. لإيجاد قيم m التي تجعل H موجودة، نعيد كتابة المعادلة: $$ (m + 2) \overrightarrow{HA} - \overrightarrow{HB} + (m - 3) \overrightarrow{HC} = \vec{0} $$ نستخدم تمثيل المتجهات بالنسبة لنقطة H ونحل المعادلة لإيجاد m. ب. نعبر عن $ \overrightarrow{AH} $ بدلالة m و $ \overrightarrow{AB} $ و $ \overrightarrow{AC} $. ج. نحسب إحداثيات H بدلالة m باستخدام إحداثيات A و $ \overrightarrow{AH} $. د. نعبر عن قيم m بحيث تكون H على المستقيم (D) بمعادلة: $$0 = 2x - y$$ نستبدل إحداثيات H في المعادلة ونحل لإيجاد m. النتائج النهائية: - إحداثيات G: $$(-6, -1)$$ - إحداثيات D: $$(5, 1)$$ - معاملات $$\alpha, \beta, \gamma$$ تحل من النظام أعلاه - مجموعة (\Gamma) معرفة بالمعادلة المعطاة - قيم m التي تحقق وجود H وحلولها حسب الخطوات السابقة