1. **Énoncé du problème :** On cherche à démontrer que le point $M(x;y)$ est équidistant des points $S(70;90)$ et $P(90;50)$ si et seulement si $x - 2y + 60 = 0$. 2. **Formule utilisée :** La distance entre deux points $M(x;y)$ et $S(x_S;y_S)$ est donnée par $$d(M,S) = \sqrt{(x - x_S)^2 + (y - y_S)^2}$$ Le point $M$ est équidistant de $S$ et $P$ si $$d(M,S) = d(M,P)$$ 3. **Démonstration :** $$d(M,S)^2 = d(M,P)^2$$ $$ (x - 70)^2 + (y - 90)^2 = (x - 90)^2 + (y - 50)^2 $$ Développons : $$ x^2 - 140x + 4900 + y^2 - 180y + 8100 = x^2 - 180x + 8100 + y^2 - 100y + 2500 $$ Simplifions en annulant $x^2$ et $y^2$ des deux côtés : $$ -140x + 4900 - 180y + 8100 = -180x + 8100 - 100y + 2500 $$ Réorganisons : $$ -140x + 4900 - 180y + 8100 + 180x - 8100 + 100y - 2500 = 0 $$ $$ ( -140x + 180x ) + ( -180y + 100y ) + (4900 + 8100 - 8100 - 2500) = 0 $$ $$ 40x - 80y + 4500 = 0 $$ Divisons par 40 : $$ \cancel{40}x - \cancel{80}y + \cancel{4500} = 0 \Rightarrow x - 2y + 112.5 = 0 $$ Il semble y avoir une erreur dans le calcul des constantes, recalculons la constante : $$ 4900 + 8100 - 8100 - 2500 = 4900 - 2500 = 2400 $$ Donc l'équation correcte est : $$ 40x - 80y + 2400 = 0 $$ Divisons par 40 : $$ x - 2y + 60 = 0 $$ Ce qui correspond bien à la proposition donnée. 4. **Ensemble des points $M$ possibles :** L'ensemble des points $M$ équidistants de $S$ et $P$ est la droite d'équation $$x - 2y + 60 = 0$$. 5. **Détermination de la position du point $G$ :** Le point $G$ est sur la ligne entre $A(60;0)$ et $B(0;150)$ et doit appartenir à la droite $x - 2y + 60 = 0$. Équation de la droite $AB$ : Le vecteur directeur est $\overrightarrow{AB} = (0 - 60; 150 - 0) = (-60; 150)$. Paramétrisation : $$ x = 60 - 60t $$ $$ y = 0 + 150t $$ Pour $t \in [0,1]$. Substituons dans l'équation de la droite $x - 2y + 60 = 0$ : $$ (60 - 60t) - 2(150t) + 60 = 0 $$ $$ 60 - 60t - 300t + 60 = 0 $$ $$ 120 - 360t = 0 $$ $$ 360t = 120 $$ $$ t = \frac{120}{360} = \frac{1}{3} $$ Calculons les coordonnées de $G$ : $$ x_G = 60 - 60 \times \frac{1}{3} = 60 - 20 = 40 $$ $$ y_G = 150 \times \frac{1}{3} = 50 $$ **Réponse finale :** Le point $G$ a pour coordonnées $$\boxed{(40; 50)}$$ et se trouve sur la ligne $AB$ à égale distance des points $S$ et $P$.