1. **Énoncé du problème :** On donne les points $A(-1,1)$, $B(2,-4)$, et $C(5,-3)$ dans un repère orthonormé. 2. **Calcul des coordonnées du point $I$ milieu de $[BC]$ :** La formule du milieu entre deux points $B(x_B,y_B)$ et $C(x_C,y_C)$ est : $$I\left(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2}\right)$$ Calculons : $$x_I=\frac{2+5}{2}=\frac{7}{2}=3.5$$ $$y_I=\frac{-4+(-3)}{2}=\frac{-7}{2}=-3.5$$ Donc $I(3.5,-3.5)$. 3. **Calcul des coordonnées du centre de gravité $G$ du triangle $ABC$ :** Le centre de gravité est le point moyen des trois sommets : $$G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$$ Calculons : $$x_G=\frac{-1+2+5}{3}=\frac{6}{3}=2$$ $$y_G=\frac{1+(-4)+(-3)}{3}=\frac{-6}{3}=-2$$ Donc $G(2,-2)$. 4. **Vérification que $A$, $I$ et $G$ sont alignés :** Trois points sont alignés si le vecteur $\overrightarrow{AI}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AG}$. Calculons : $$\overrightarrow{AI}=(x_I - x_A, y_I - y_A)=(3.5 - (-1), -3.5 - 1)=(4.5, -4.5)$$ $$\overrightarrow{AG}=(x_G - x_A, y_G - y_A)=(2 - (-1), -2 - 1)=(3, -3)$$ On vérifie si $\overrightarrow{AI} = k \overrightarrow{AG}$ pour un $k$ : $$\frac{4.5}{3} = 1.5, \quad \frac{-4.5}{-3} = 1.5$$ Les deux rapports sont égaux, donc $A$, $I$ et $G$ sont alignés. 5. **Calcul des coordonnées de $M$ défini par $3\overrightarrow{MA} - 2\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ :** On exprime $\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{M}$, etc. L'équation devient : $$3(\overrightarrow{A} - \overrightarrow{M}) - 2(\overrightarrow{B} - \overrightarrow{M}) + (\overrightarrow{C} - \overrightarrow{M}) = \overrightarrow{0}$$ $$3\overrightarrow{A} - 3\overrightarrow{M} - 2\overrightarrow{B} + 2\overrightarrow{M} + \overrightarrow{C} - \overrightarrow{M} = \overrightarrow{0}$$ $$3\overrightarrow{A} - 2\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} - 2\overrightarrow{M} = \overrightarrow{0}$$ Donc : $$2\overrightarrow{M} = 3\overrightarrow{A} - 2\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}$$ $$\overrightarrow{M} = \frac{1}{2}(3\overrightarrow{A} - 2\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C})$$ Calculons les coordonnées : $$3\overrightarrow{A} = (3 \times -1, 3 \times 1) = (-3, 3)$$ $$-2\overrightarrow{B} = (-2 \times 2, -2 \times -4) = (-4, 8)$$ $$\overrightarrow{C} = (5, -3)$$ Somme : $$(-3,3) + (-4,8) + (5,-3) = (-3 -4 +5, 3 +8 -3) = (-2, 8)$$ Donc : $$\overrightarrow{M} = \frac{1}{2}(-2,8) = (-1,4)$$ Donc $M(-1,4)$. 6. **Calcul de $a$ pour que $A$, $I$ et $N(a,2)$ soient alignés :** Les points $A$, $I$ et $N$ sont alignés si $\overrightarrow{AI}$ et $\overrightarrow{AN}$ sont colinéaires. $$\overrightarrow{AI} = (3.5 - (-1), -3.5 - 1) = (4.5, -4.5)$$ $$\overrightarrow{AN} = (a - (-1), 2 - 1) = (a + 1, 1)$$ On cherche $k$ tel que : $$\overrightarrow{AN} = k \overrightarrow{AI}$$ Donc : $$a + 1 = 4.5k$$ $$1 = -4.5k$$ De la deuxième équation : $$k = -\frac{1}{4.5} = -\frac{2}{9}$$ Substituons dans la première : $$a + 1 = 4.5 \times \left(-\frac{2}{9}\right) = -1$$ Donc : $$a = -1 - 1 = -2$$ **Réponse finale :** - $I(3.5, -3.5)$ - $G(2, -2)$ - $A$, $I$ et $G$ sont alignés - $M(-1,4)$ - $a = -2$ pour que $A$, $I$ et $N$ soient alignés