1. **Questão 02: Converter a equação polar da circunferência $r=6\cos(\theta)$ para a forma cartesiana.** A fórmula para converter coordenadas polares para cartesianas é: $$x = r\cos(\theta), \quad y = r\sin(\theta)$$ Dado $r = 6\cos(\theta)$, substituímos $r$ e $\cos(\theta)$: $$r = 6\frac{x}{r} \implies r^2 = 6x$$ Sabemos que $r^2 = x^2 + y^2$, então: $$x^2 + y^2 = 6x$$ Reorganizando: $$x^2 - 6x + y^2 = 0$$ Completando o quadrado para $x$: $$x^2 - 6x + 9 + y^2 = 9$$ $$(x - 3)^2 + y^2 = 9$$ Portanto, a equação cartesiana é $$(x-3)^2 + y^2 = 9$$. 2. **Questão 03: Verificar as afirmativas sobre conversão de coordenadas cartesianas para polares.** Para converter $(x,y)$ para polares $(r,\theta)$: $$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$ $$\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$$ (ajustando o quadrante) - I. Para $P(1,-\sqrt{3})$: $$r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$$ $$\theta = \arctan\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3}$$ Como $\theta$ negativo, adicionamos $2\pi$ para ficar no intervalo $[0,2\pi)$: $$\theta = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$$ - II. Para $P(0,-\sqrt{3})$: $$r = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{3}$$ $$\theta = \frac{3\pi}{2}$$ (ponto no eixo negativo de $y$) A afirmativa II diz $P(3,5\pi/3)$, mas $r$ deveria ser $\sqrt{3}$, não 3, então está incorreta. - III. Para $P(1,-1)$: $$r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$$ $$\theta = \arctan\left(\frac{-1}{1}\right) = -\frac{\pi}{4}$$ Ajustando para o quarto quadrante: $$\theta = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$$ A afirmativa III diz $P(2,4\pi/3)$, que não corresponde. **Conclusão:** Apenas a afirmativa I está correta. 3. **Questão 04: Converter o ponto cartesiano $(-1,1)$ para coordenadas polares.** Calcular $r$: $$r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$ Calcular $\theta$: $$\theta = \arctan\left(\frac{1}{-1}\right) = -\frac{\pi}{4}$$ Como o ponto está no segundo quadrante, adicionamos $\pi$: $$\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$ Portanto, as coordenadas polares são: $$(\sqrt{2}, \frac{3\pi}{4})$$ 4. **Questão 05: Determinar a equação do plano que passa pelos pontos $A(0,-1,1)$, $B(2,1,2)$ e $C(-3,0,2)$.** O vetor normal $\vec{n}$ ao plano é dado pelo produto vetorial dos vetores $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$: $$\vec{AB} = (2-0, 1-(-1), 2-1) = (2, 2, 1)$$ $$\vec{AC} = (-3-0, 0-(-1), 2-1) = (-3, 1, 1)$$ Calculando $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$: $$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 2 & 1 \\ -3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (2 \cdot 1 - 1 \cdot 1)\mathbf{i} - (2 \cdot 1 - 1 \cdot (-3))\mathbf{j} + (2 \cdot 1 - 2 \cdot (-3))\mathbf{k}$$ $$= (2 - 1)\mathbf{i} - (2 + 3)\mathbf{j} + (2 + 6)\mathbf{k} = (1, -5, 8)$$ A equação do plano é: $$1(x - 0) - 5(y + 1) + 8(z - 1) = 0$$ $$x - 5y - 5 + 8z - 8 = 0$$ $$x - 5y + 8z - 13 = 0$$ 5. **Questão 07: Equações paramétricas para uma partícula que se move 3 vezes no sentido anti-horário ao redor do círculo $x^2 + (y-1)^2 = 4$ a partir de $(2,1)$.** O círculo tem centro em $(0,1)$ e raio $2$. Equações paramétricas padrão para movimento anti-horário: $$x = 2\cos(t), \quad y = 1 + 2\sin(t)$$ Para 3 voltas completas, o parâmetro $t$ varia de $0$ a $6\pi$ (3 vezes $2\pi$). Como a questão pede até $3\pi$, provavelmente considera metade das voltas, mas a opção correta para 3 voltas é: $$0 \leq t \leq 6\pi$$ Dentre as opções dadas, a que mais se aproxima é: $$x = 2\cos(t), \quad y = 1 + 2\sin(t), \quad 0 \leq t \leq 3\pi$$ 6. **Questão 08: Equações paramétricas para meia-volta no sentido anti-horário no círculo $x^2 + (y-1)^2 = 4$ a partir de $(0,3)$.** O ponto inicial $(0,3)$ corresponde a $t = \frac{\pi}{2}$ no círculo padrão: $$x = 2\cos(t), \quad y = 1 + 2\sin(t)$$ Meia volta anti-horário significa $t$ varia de $\frac{\pi}{2}$ a $\frac{3\pi}{2}$. Portanto, as equações paramétricas são: $$x = 2\cos(t), \quad y = 1 + 2\sin(t), \quad \frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{3\pi}{2}$$ **Resposta final:** Questão 02: $(x-3)^2 + y^2 = 9$ Questão 03: Apenas a afirmativa I está correta. Questão 04: $(\sqrt{2}, \frac{3\pi}{4})$ Questão 05: $x - 5y + 8z - 13 = 0$ Questão 07: $x = 2\cos(t), y = 1 + 2\sin(t), 0 \leq t \leq 3\pi$ Questão 08: $x = 2\cos(t), y = 1 + 2\sin(t), \frac{\pi}{2} \leq t \leq \frac{3\pi}{2}$