1. Stwierdzenie problemu: W trójkącie $ABC$ o polu $S$ na boku $AB$ wybrano punkt $D$ tak, że $\frac{|AD|}{|DB|}=p>0$. Przez $D$ poprowadzono prostą równoległą do $AC$, przecinającą $BC$ w $E$. Następnie przez $E$ poprowadzono prostą równoległą do $AB$, przecinającą $AC$ w $F$. Należy znaleźć wartość $p$, dla której pole trójkąta $ADF$ jest równe polu równoległoboku $DBEF$. 2. Użyte wzory i zasady: - Pole trójkąta: $S = \frac{1}{2} \times \text{podstawa} \times \text{wysokość}$. - Własności figur równoległych i podobieństwo trójkątów. - Pole równoległoboku: $P = \text{podstawa} \times \text{wysokość}$. 3. Oznaczmy długość boku $AB$ jako $|AB|=a$. Z warunku $\frac{|AD|}{|DB|}=p$ mamy $|AD|=\frac{p}{p+1}a$ i $|DB|=\frac{1}{p+1}a$. 4. Ponieważ $DE \parallel AC$, trójkąty $DBE$ i $ABC$ są podobne z zachowaniem proporcji boków. Zatem $|BE|=\frac{1}{p+1}|BC|$. 5. Ponieważ $EF \parallel AB$, trójkąty $AEF$ i $ABC$ są podobne. Współczynnik podobieństwa między $AEF$ a $ABC$ wynosi $\frac{|AE|}{|AB|} = \frac{|BE|}{|BC|} = \frac{1}{p+1}$. 6. Pole trójkąta $ADF$ można wyrazić jako: $$S_{ADF} = \frac{|AD|}{|AB|} \times \frac{|AF|}{|AC|} \times S = \frac{p}{p+1} \times \frac{p}{p+1} \times S = \left(\frac{p}{p+1}\right)^2 S$$ 7. Pole równoległoboku $DBEF$ jest równe: $$S_{DBEF} = \frac{|DB|}{|AB|} \times \frac{|BE|}{|BC|} \times S = \frac{1}{p+1} \times \frac{1}{p+1} \times S = \left(\frac{1}{p+1}\right)^2 S$$ 8. Warunek równości pól: $$S_{ADF} = S_{DBEF}$$ $$\left(\frac{p}{p+1}\right)^2 S = \left(\frac{1}{p+1}\right)^2 S$$ 9. Skracamy $S$ i mnożymy obie strony przez $(p+1)^2$: $$p^2 = 1$$ 10. Rozwiązanie: $$p = 1 \quad \text{(ponieważ } p > 0 \text{)}$$ Odpowiedź: $p=1$.